关于求解两枚骰子点数之和的PDF与CDF的技术咨询

嘿，别慌，这个问题是离散均匀分布卷积的经典例子，咱们一步步把它拆明白，你就能清楚PDF和CDF的推导逻辑了。

第一步：明确变量与基础分布 #

首先，咱们定义两个独立的随机变量：

• (X_1)：第一枚骰子的点数，取值范围是({1,2,...,6})，每个取值的概率都是(\frac{1}{6})（离散均匀分布），即 (P(X_1 = k) = \frac{1}{6})，其中(k=1,2,...,6)
• (X_2)：第二枚骰子的点数，和(X_1)完全一样，独立同分布，同样满足 (P(X_2 = k) = \frac{1}{6})

你之前提到的“代入(1/n=X_1)”是混淆了随机变量的取值和取值的概率：(X_1)的取值是1到6的整数，而每个取值的概率是(\frac{1}{n})（这里n=6），不是(X_1=\frac{1}{n})，这点先纠正过来~

第二步：推导点数和的PDF（概率密度函数） #

设点数和为(Y = X_1 + X_2)，(Y)的可能取值是2到12（最小1+1=2，最大6+6=12）。

离散情况下，两个独立随机变量和的概率就是用卷积公式计算：
[
P(Y = y) = \sum_{x} P(X_1 = x) \cdot P(X_2 = y - x)
]
这里的求和范围得满足两个硬条件：

1. (x)必须是(X_1)的合法取值：(1 \leq x \leq 6)
2. (y - x)必须是(X_2)的合法取值：(1 \leq y - x \leq 6) → 转化为 (y - 6 \leq x \leq y - 1)

结合这两个条件，(x)的有效范围是 (\max(1, y-6) \leq x \leq \min(6, y-1))，咱们分情况计算每个(y)对应的概率：

• 当(y=2)：(x)只能取1 → (P(Y=2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36})
• 当(y=3)：(x)可以取1、2 → (P(Y=3) = 2 \times \frac{1}{36} = \frac{2}{36})
• 当(y=4)：(x)可以取1、2、3 → (P(Y=4) = 3 \times \frac{1}{36} = \frac{3}{36})
• 当(y=5)：(x)取1-4 → (P(Y=5) = \frac{4}{36})
• 当(y=6)：(x)取1-5 → (P(Y=6) = \frac{5}{36})
• 当(y=7)：(x)取1-6 → (P(Y=7) = \frac{6}{36})
• 当(y=8)：(x)取2-6 → (P(Y=8) = \frac{5}{36})
• 当(y=9)：(x)取3-6 → (P(Y=9) = \frac{4}{36})
• 当(y=10)：(x)取4-6 → (P(Y=10) = \frac{3}{36})
• 当(y=11)：(x)取5-6 → (P(Y=11) = \frac{2}{36})
• 当(y=12)：(x)只能取6 → (P(Y=12) = \frac{1}{36})

这就是(Y)的PDF啦，你能看到它是对称分布，中间（y=7）的概率最高。

第三步：推导点数和的CDF（累积分布函数） #

CDF的定义是(F_Y(y) = P(Y \leq y))，说白了就是把所有小于等于(y)的(Y)取值的概率加起来，分区间计算更清晰：

• 当(y < 2)：(Y)不可能取到小于2的值，所以(F_Y(y) = 0)
• 当(2 \leq y < 3)：只有(Y=2)的概率，(F_Y(y) = \frac{1}{36})
• 当(3 \leq y < 4)：(Y=2+3)的概率和，(F_Y(y) = \frac{1+2}{36} = \frac{3}{36})
• 当(4 \leq y < 5)：(F_Y(y) = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36})
• 当(5 \leq y < 6)：(F_Y(y) = \frac{1+2+3+4}{36} = \frac{10}{36})
• 当(6 \leq y < 7)：(F_Y(y) = \frac{1+2+3+4+5}{36} = \frac{15}{36})
• 当(7 \leq y < 8)：(F_Y(y) = \frac{1+2+3+4+5+6}{36} = \frac{21}{36})
• 当(8 \leq y < 9)：(F_Y(y) = \frac{21+5}{36} = \frac{26}{36})
• 当(9 \leq y < 10)：(F_Y(y) = \frac{26+4}{36} = \frac{30}{36})
• 当(10 \leq y < 11)：(F_Y(y) = \frac{30+3}{36} = \frac{33}{36})
• 当(11 \leq y < 12)：(F_Y(y) = \frac{33+2}{36} = \frac{35}{36})
• 当(y \geq 12)：所有可能的(Y)取值都包含了，所以(F_Y(y) = 1)

也可以用通用公式概括：
[
F_Y(y) =
\begin{cases}
0, & y < 2 \
\sum_{k=2}^{\lfloor y \rfloor} P(Y=k), & 2 \leq y < 12 \
1, & y \geq 12
\end{cases}
]
其中(\lfloor y \rfloor)是对(y)向下取整。

最后补个小说明 #

你之前卡壳的(P(X_1+X_2 < y))其实就是(F_Y(y^-))（(y)左侧的累积概率），比如(P(Y < 7))就是(F_Y(6) = \frac{15}{36})，对应所有小于7的点数和的概率总和。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carlo