初等几何趣味谜题：求△ABC中特定角平分线构成的∠FDE度数

这道几何题用三角形内角和、角平分线的性质就能一步步推导出来，我给你拆解清楚：

第一步：先算∠B + ∠C的总和 #

已知△ABC中∠A=120°，根据三角形内角和为180°，直接可得：
∠B + ∠C = 180° - 120° = 60°

第二步：拆分角平分线对应的小角度 #

我们设∠ABC=2β，∠ACB=2γ（这样角平分线BF、CE拆分出来的角度就是β和γ），代入上面的结论：
2β + 2γ = 60° → β + γ = 30°
另外，AD是∠A的角平分线，所以∠A被平分成两个60°的角：
∠BAD = ∠CAD = 120° ÷ 2 = 60°

第三步：推导∠FDE的核心关系 #

首先明确：AD、BF、CE三条角平分线的交点D是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点）。

通过三角形外角性质和角度叠加，我们可以推导出：
∠FDE = 180° - (∠FDB + ∠EDB)
而其中∠FDB = ∠BAD + β = 60° + β，∠EDB = ∠CAD + γ = 60° + γ（这里用到了三角形外角等于不相邻两个内角和的性质）

把这两个式子代入后：
∠FDE = 180° - (60°+β + 60°+γ) = 180° - (120° + β+γ)
之前我们已经算出β+γ=30°，代入后：
∠FDE = 180° - (120°+30°) = 30°

验证（可选） #

如果假设△ABC是等腰三角形（∠B=∠C=30°），用坐标法代入计算各点坐标后，算出的∠FDE也确实是30°，和推导结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者honeybadger