集合论中二进制场景下集合与子集的定义及数学表示问询

嘿，这个问题其实戳中了集合论和二进制之间一个超有意思的对应关系，我来给你掰扯清楚～

首先得把最基础的关联说透：长度为n的二进制字符串，本质上就是一个n个元素的基础集合的子集。

举你说的n=9的例子：假设我们有个基础集合S = {1,2,3,...,9}，对应二进制串的第1到第9位。那任何一个9位二进制串，每一位的0或1就代表“对应位置的元素是否在子集中”——1表示这个元素在子集中，0表示不在。比如二进制串100110001，就对应子集{1,4,5,9}，因为第1、4、5、9位是1，其他是0。

问题1：集合A仅包含一个二进制数，能不能定义二进制字符串的子集？ #

这里要分两种情况看，别搞混了：

• 如果是集合A本身的子集：那就是常规集合的子集规则，A是单元素集（比如A = {"100110001"}），那它的子集只有两个：空集∅，和A自己。但这应该不是你真正想问的。
• 如果是这个二进制串所代表的集合的子集：当然可以！刚才说了，这个二进制串对应基础集合S的一个子集S_b（比如上面的{1,4,5,9}），那S_b的子集，就对应另一批二进制串——这些串的规则是：原串里是0的位置，新串必须也是0；原串里是1的位置，新串可以是0或1。

举个例子，原串是100110001，那它对应的子集的子集，比如{1,4,9}，就对应二进制串100100001；再比如{5}，对应000010000。

用数学语言表述的话：
假设二进制串b = b₁b₂...bₙ（其中每个bᵢ ∈ {0,1}），它对应的集合是S_b = { i ∈ {1,2,...,n} | bᵢ = 1 }。那么S_b的所有子集对应的二进制串集合就是：

{ c₁c₂...cₙ | cᵢ ∈ {0,1}, 且对任意i，cᵢ ≤ bᵢ }

这里的≤是二进制位的逻辑比较：如果bᵢ=0，cᵢ只能是0；如果bᵢ=1，cᵢ可以是0或1。

问题2：集合A的元素是{0,1}，能不能定义二进制字符串的子集？ #

首先明确：集合A={0,1}是二进制的基础元素集，而所有长度为n的二进制串，其实是A的n次笛卡尔积，记为Aⁿ（简单说就是从A里选n个元素排成的序列）。这时候“二进制字符串的子集”可以从两个层面理解：

• 作为Aⁿ的子集：就是从所有n位二进制串里挑一部分组成集合，这完全符合集合子集的定义。比如你可以定义“所有以1开头的9位二进制串”，或者“所有包含偶数个1的9位二进制串”，这些都是Aⁿ的子集。
  数学表述就是：任意集合B满足B ⊆ Aⁿ，其中Aⁿ = { (b₁,b₂,...,bₙ) | bᵢ ∈ {0,1} }（也可以直接写成{0,1}ⁿ）。
• 单个二进制串对应的集合的子集（关联A={0,1}）：其实就是回到最开始的对应，用A里的0和1来标记基础集合S的元素是否在子集中——0代表不在，1代表在，本质上还是子集的标记方式。

• 长度为n的二进制串 ↔ n元基础集合S={1,..,n}的子集，对应规则：第i位=1 ⇨ i在子集中；第i位=0 ⇨ i不在子集中。
• 单元素集合A={某个二进制串b}的子集是∅和A，但b对应的集合S_b的子集，对应所有满足cᵢ ≤ bᵢ的n位二进制串c。
• 集合A={0,1}时，所有n位二进制串是Aⁿ，它的子集就是任意由n位二进制串组成的集合，数学上用B⊆Aⁿ表示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user366820