numpy.linalg.eig返回的特征向量是否正交？如何获取正交归一化特征向量？

1. 特征向量是否正交？ #

这个得分情况讨论：

• 如果矩阵是正规矩阵（比如实对称矩阵、Hermitian矩阵、正交矩阵、酉矩阵等，满足$A A^H = A^H A$，实矩阵下就是$A A^T = A^T A$），numpy.linalg.eig返回的特征向量是正交的（实矩阵下是实正交，复矩阵下是酉正交）。
• 如果矩阵是非正规矩阵（比如一般的非对称实矩阵），即使特征值互不相同，特征向量也只是线性无关，不一定正交；如果有重特征值，甚至可能不存在线性无关的特征向量（矩阵不可对角化）。

2. 点积结果约为0.0001，能否视为正交？ #

你遇到的这个情况要分场景判断：

• 如果你的矩阵是正规矩阵（比如实对称），理论上特征向量应该严格正交，计算出的微小偏差（比如1e-16量级）完全是浮点数精度限制导致的，完全可以视为正交。
• 如果点积结果是0.0001（1e-4）这个量级，建议检查两个问题：
  • 是不是点积计算方式错了？在numpy里，应该用np.dot(v0, v1)或者v0 @ v1（一维数组），如果是二维数组的列向量，要用v0.T @ v1，避免只做元素相乘没求和的情况。
  • 是不是矩阵本身不是正规矩阵？如果是非正规矩阵，不同特征值的特征向量本身就不正交，这个结果就是真实的非正交性，而非误差。

3. 如何获取正交且归一化的特征向量及对应特征值？ #

首先要明确：只有正规矩阵才能拥有正交的特征向量组，非正规矩阵不存在这样的特征向量组（因为正交特征向量组对应的矩阵一定是正规矩阵）。针对不同情况：

情况1：矩阵是正规矩阵（比如实对称） #

推荐使用numpy.linalg.eigh而非eig：

• eigh专门针对Hermitian矩阵（实对称矩阵是特例），返回的特征向量是严格正交归一化的，而且数值稳定性比eig更好，计算精度更高。
• 示例代码：

import numpy as np

# 实对称矩阵示例
A = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(A)

# 验证正交性：点积接近0
print(np.dot(eigenvectors[:,0], eigenvectors[:,1]))  # 输出约为1e-16量级的极小值
# 验证归一化：模长为1
print(np.linalg.norm(eigenvectors[:,0]))  # 输出1.0

情况2：矩阵是非正规矩阵 #

如果矩阵是非正规矩阵，不存在正交的特征向量组，若需要正交向量组，可以用Schur分解：

• numpy.linalg.schur会返回正交矩阵Q和上三角矩阵T，满足$A = Q T Q^T$（实矩阵）。Q的列是正交归一化的，但这些列不是特征向量，只是Schur向量。
• 示例代码：

import numpy as np

# 非对称非正规矩阵示例
A = np.array([[1, 1], [0, 2]])
Q, T = np.linalg.schur(A)

# 验证Q的列正交
print(np.dot(Q[:,0], Q[:,1]))  # 输出约为0
# 验证Q的列归一化
print(np.linalg.norm(Q[:,0]))  # 输出1.0

注意：Schur向量不是特征向量，只是正交向量组；如果必须要特征向量，非正规矩阵的特征向量无法做到正交，只能接受它们线性无关的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kinder chen