奇数阶非奇异矩阵A、B及AB的特征值原点对称证明疑问

首先，你遇到的矛盾其实是个很关键的逻辑点：不存在奇数阶的非奇异矩阵，能让特征值集合严格关于原点对称（这里的“对称”指每个特征值λ的重数和-λ完全相同）。原因很直白：

假设存在这样的n阶非奇异矩阵（n为奇数），我们把特征值按成对的(λ, -λ)分组，每一组占2个重数。但n是奇数，分组后必然会剩下一个单独的特征值μ——要满足对称要求，这个μ必须等于它的相反数，也就是μ=-μ，解得μ=0。但0是特征值的话，矩阵的行列式就是所有特征值的乘积，结果为0，矩阵必然奇异，这和你假设的“非奇异”直接矛盾。

这说明你可能误解了原结论的适用前提：“矩阵A、B及AB的特征值关于原点对称”这个结论不是对所有矩阵都成立的，它有明确的限制条件，常见的情况包括：

• 矩阵是偶数阶的可逆反对称矩阵：对于反对称矩阵A，其特征多项式满足$p(-λ) = (-1)^n p(λ)$。当n为偶数时，$p(-λ)=p(λ)$，意味着如果λ是特征值，-λ也一定是特征值，且重数相同；而如果n是奇数，$p(-λ)=-p(λ)$，这会直接推出$p(0)=0$，也就是0必然是特征值，矩阵奇异——所以奇数阶反对称矩阵不可能是非奇异的，你的假设场景本身就不成立。
• 矩阵属于其他满足特征多项式为偶函数的类别：比如满足$A^2 = -I$的矩阵，这类矩阵的特征值只能是i和-i，但同样，只有偶数阶矩阵才能满足这个条件（奇数阶时$det(A^{2)=det(-I)=-1$，而$det(A}2)=(detA)^2≥0$，实数域下矛盾）。

回到你要证明的原问题，先确认结论的前提条件——大概率是限定了矩阵为偶数阶的特殊类型（比如反对称可逆矩阵），这样就能避开奇数阶带来的矛盾了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Subhajit Saha