判断由集合S生成的矩阵集合G在乘法下是否构成群

嗨，我来帮你拆解这个问题！你已经熟稔群的四大判定准则（封闭性、单位元、逆元、结合律），也做过行列式为±1的方阵群这类经典题，现在卡在这个由S生成的集合G上，对吧？咱们一步步来验证，把困惑点逐个击破。

首先再捋一遍题目给的关键信息：

• S是n阶实方阵的子集，只要某个矩阵A在S里，A的逆矩阵不仅存在，还一定也在S中（这个条件是核心）
• G是所有S中有限个元素相乘得到的集合，注意这里的相乘次数k是正整数——也就是最少乘1个元素，不能是0个。

咱们按从易到难的顺序来：

1. 结合律：直接成立 #

矩阵乘法本身在所有可逆方阵的集合里就是结合的，而G里的每个元素都是可逆方阵的乘积（毕竟S里的元素全是可逆的），所以G中任意三个元素相乘，结合律必然成立。这一步完全不用纠结。

2. 封闭性：轻松满足 #

假设G里有两个元素：

• $A = A_1A_2\dots A_k$（k个S里的元素乘出来的）
• $B = B_1B_2\dots B_m$（m个S里的元素乘出来的）

那它们的乘积 $AB = A_1A_2\dots A_kB_1B_2\dots B_m$，这明显是S里k+m个元素的乘积，完全符合G的定义，所以封闭性没问题。

3. 逆元：利用S的逆元条件解决 #

对于G里的任意元素 $A = A_1A_2\dots A_k$，它的逆矩阵是 $A^{-1} = A_k^{-1}A_{k-1}{-1}\dots A_1^{-1}$（这是矩阵逆的基本性质：乘积的逆等于逆的反向乘积）。

题目明确说了，S里每个元素的逆元都在S里，所以每个 $A_i^{-1}$ 都是S的成员，那这个逆元就是S里k个元素的乘积，自然属于G。所以G里每个元素都有逆元，而且逆元也在G里面。

4. 单位元：最容易踩坑的点，这里要仔细说 #

一开始你可能会疑惑：G的定义里k是正整数，那单位矩阵E如果不在S里，会不会就不在G里？

别担心，题目给的S有个关键性质：只要A在S里，A⁻¹也在S里。那我们取S里任意一个元素A（这里默认S是非空的，如果S是空集的话，G也是空集，肯定不是群），那A和A⁻¹都在S里，它们相乘的结果 $AA^{-1} = E$——这是S里2个元素的乘积，k=2是正整数，完全符合G的定义，所以E必然在G里！

哦对哦！只要S非空，就能通过S里的元素和它的逆元相乘得到单位元，所以单位元肯定存在于G中。

• 如果S是空集：G是空集，不满足群“至少包含单位元”的基本要求，不是群。
• 如果S非空：G满足群的所有四个判定条件，在矩阵乘法下构成群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Albert B