构造超几何函数：求解$_2F_1$中参数a、b、c的取值

我们的目标是找到合适的参数a、b、c，使得以下等式成立：
$$\frac{1}{2} ((1+x)^{{2\alpha}-(1-x)}{2\alpha}) = 2\alpha x\ _2F_1(a,b;c;x^2)$$

第一步：展开左边的二项式 #

你已经完成了初始的展开步骤，我把它整理得更清晰些：
首先利用二项式定理展开$(1+x)^{{2\alpha}$和$(1-x)}{2\alpha}$：
$$\frac{1}{2} ((1+x)^{{2\alpha}-(1-x)}{2\alpha}) = \frac{1}{2}\left(\sum^{{\infty}_{k=0}\binom{2\alpha}{k}x}k - \sum^{{\infty}_{k=0}\binom{2\alpha}{k}(-x)}k\right)$$
将两个求和项合并后，我们可以发现偶数次项会相互抵消（因为$x^k - (-x)^k = 0$当k为偶数时），只有奇数次项保留：
$$= \frac{1}{2} \sum^{{\infty}_{n=0}\binom{2\alpha}{2n+1}\left(x}{2n+1} - (-x)^{2n+1}\right)$$
计算括号内的项：$x^{2n+1} - (-x)^{2n+1} = 2x^{2n+1}$，代入后化简：
$$= \sum^{{\infty}_{n=0}\binom{2\alpha}{2n+1}x}{2n+1}$$
提取出一个x，让求和式的变量变成$x^2$的幂次，这样更贴近右边超几何函数的形式：
$$= x \sum^{{\infty}_{n=0}\binom{2\alpha}{2n+1}(x}2)^n$$

第二步：将二项式系数转换为Pochammer符号 #

按照你导师的建议，我们把二项式系数$\binom{2\alpha}{2n+1}$用Pochammer符号（上升阶乘，记为$(\beta)_k = \beta(\beta+1)\cdots(\beta+k-1)$）来表示。回忆二项式系数和上升阶乘的关系：
$$\binom{\beta}{k} = \frac{(\beta)_k}{k!}$$

对于$\binom{2\alpha}{2n+1}$，我们可以展开它的上升阶乘形式：
$$\binom{2\alpha}{2n+1} = \frac{(2\alpha){2n+1}}{(2n+1)!}$$
接下来，我们把$(2\alpha){2n+1}$拆分成两组上升阶乘的乘积，对应超几何函数的两个分子参数：
$$(2\alpha)_{2n+1} = 2\alpha \cdot (2\alpha+1)(2\alpha+2)\cdots(2\alpha+2n)$$
$$= 2\alpha \cdot 2^n\left(\alpha+\frac{1}{2}\right)\left(\alpha+\frac{3}{2}\right)\cdots\left(\alpha+\frac{2n+1}{2}-1\right) \cdot 2^n(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n)$$
$$= 2^{2n+1}\alpha \cdot \left(\alpha+\frac{1}{2}\right)_n \cdot (\alpha)_n$$

然后处理分母$(2n+1)!$，利用双阶乘和上升阶乘的关系：
$$(2n+1)! = (2n+1) \cdot (2n)! = (2n+1) \cdot 2^{2n}n! \cdot \left(\frac{1}{2}\right)_n$$

把分子分母代入二项式系数，化简后得到：
$$\binom{2\alpha}{2n+1} = \frac{2^{2n+1}\alpha \cdot (\alpha)_n \cdot \left(\alpha+\frac{1}{2}\right)_n}{(2n+1) \cdot 2^{2n}n! \cdot \left(\frac{1}{2}\right)_n} = \frac{2\alpha \cdot (\alpha)_n \cdot \left(\alpha+\frac{1}{2}\right)_n}{\left(\frac{3}{2}\right)_n n!}$$

第三步：对比超几何函数形式确定参数 #

现在我们把左边的结果和题目中的右边$2\alpha x\ _2F_1(a,b;c;x^2)$对比，完全匹配超几何函数的定义：
$$2F_1(a,b;c;z) = \sum^{\infty}{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n!}z^n$$

因此可以直接读出参数：

• $a = \alpha$，$b = \alpha + \frac{1}{2}$，$c = \frac{3}{2}$

由于超几何函数的前两个参数是对称的，也可以写成：

• $a = \alpha + \frac{1}{2}$，$b = \alpha$，$c = \frac{3}{2}$

验证一下：把这些参数代入超几何函数，确实能还原回左边的表达式，推导是成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Evan