能否由a*(b*c)=a*(c*b)及单位元证明运算结合律？

嘿，这个问题挺有意思的！咱们先理清楚已知条件和核心疑问：

• 集合 ( A ) 上定义二元运算 ( * )
• 存在单位元 ( e \in A )：对任意 ( a \in A )，都有 ( ea = ae = a )
• 满足左交换性：对任意 ( a,b,c \in A )，( a*(bc) = a(c*b) )
• 你已经证明了运算的交换性：对任意 ( a,b \in A )，( ab = ba )

简单来说，仅靠这些条件不能推出结合律，我们可以构造一个满足所有已知条件，但不满足结合律的反例来验证这一点。

反例构造 #

设集合 ( A = {e, a, b} )，定义二元运算 ( * ) 如下：

1. 单位元规则：( ex = xe = x )，对所有 ( x \in A )
2. 交换规则：
   • ( ab = ba = b )
   • ( a*a = a )
   • ( b*b = e )

我们逐一验证它满足所有已知条件：

1. 存在单位元：显然 ( e ) 满足单位元的定义，没问题。
2. 左交换性：因为运算本身是交换的（( yz = zy ) 对任意 ( y,z \in A )），所以 ( x*(yz) = x(z*y) ) 自然成立。
3. 交换性：所有运算对都满足 ( xy = yx )，符合要求。

但它不满足结合律，我们用具体元素验证：

• 计算 ( (ab)b )：
  ( ab = b )，因此 ( (ab)b = bb = e )
• 计算 ( a*(bb) )：
  ( bb = e )，因此 ( a*(bb) = ae = a )

显然 ( e \neq a )，所以 ( (ab)b \neq a(bb) )，结合律不成立！

你的已知条件只能推出运算的交换性，但无法保证结合律成立——上面的反例就是一个明确的证明。如果要让结合律成立，需要额外添加约束条件（比如直接规定 ( (ab)c = a(bc) )，或者其他等价的规则）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AlgebraStudent