求证：阶|G|>1且非素数的群必存在非平凡子群及证明尝试

嘿，我把你的证明思路补全并整理成清晰的结构啦，一起来看这个命题的完整证明：

给定群( G )满足( |G| > 1 )且阶数为非素数，我们分两种情况来证明它存在除( {e} )和( G )之外的非平凡子群：

情况1：( G )是循环群 #

既然( G )是循环群，那必然存在非单位元 ( g \in G )，使得( G = ⟨g⟩ )（整个群由( g )生成）。
因为( |G| = m )是非素数且( m \neq 1 )，所以我们可以把( m )拆成两个大于1的整数乘积：( m = ab )（( a,b > 1 )）。
现在看子群⟨g^a⟩，它的元素是( {e, g^a, g^{2a}, \dots, g^{ba} = e} )，这个子群的阶数是( b )。因为( ab = m )且( b > 1 )，显然( b < m )——所以这个子群既不是只含单位元的平凡子群（阶数大于1），也不是整个群( G )（阶数小于( m )），完全符合要求。

情况2：( G )是非循环群 #

对于非循环群，随便挑一个非单位元 ( g \in G )，它的生成子群⟨g⟩肯定不等于( G )（不然( G )就是循环群了，和我们的假设矛盾）。
设o(g)是( g )的阶数，根据群论的基本结论，o(g) = |⟨g⟩|，而因为⟨g⟩ ≠ G，所以o(g) < |G|。同时，( g )不是单位元，所以o(g) ≥ 2。
这里不管o(g)是素数还是合数，结果都一样：

• 如果o(g)是合数，那它本身就是一个小于( |G| )且大于1的子群；
• 如果o(g)是素数，那因为( |G| )是非素数，所以( |G| = o(g) \times k )（( k > 1 )），显然o(g) < |G|，所以⟨g⟩仍然是一个非平凡子群。
  总之，非循环群里一定能找到这样的非平凡子群。

把两种情况结合起来，就证明了：任何阶数大于1的非素数阶群，都存在除两个平凡子群之外的其他子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Patrick