关于张量积U⊗V中0⊗w=0的推导困惑与求助

嗨，咱们一步步理清楚这个证明——你完全不用绕到那个带$\alpha$、$\beta$的式子，直接用张量积定义里的核心关系就能搞定：

首先明确几个核心定义：

• $U\otimes V$是自由向量空间$\mathcal{F}_{U\times V}$商掉由集合$S$生成的子空间$\langle S\rangle$，也就是说，张量积里的元素是自由空间中元素的等价类：两个元素等价当且仅当它们的差属于$\langle S\rangle$。
• $0\otimes w$对应的等价类是$(0,w) + \langle S\rangle$，而$U\otimes V$中的零元是自由空间的零元素（所有系数为0的线性组合）对应的等价类，即$0 + \langle S\rangle$。我们的目标就是证明$(0,w)$属于$\langle S\rangle$。

接下来直接利用$S$中的关系构造：

• 看$S$里的第一类生成元：$(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2,v)-\lambda_1(u_1,v)-\lambda_2(u_2,v)$，我们取$\lambda_1=1$，$\lambda_2=1$，$u_1=u$（$u$是$U$中任意元素），$u_2=-u$，$v=w$。
• 代入后化简：
  $$(1\cdot u + 1\cdot (-u), w) - 1\cdot (u,w) -1\cdot (-u,w) = (0,w) - (u,w) + (u,w) = (0,w)$$

这就说明**$(0,w)$本身就是$S$中的一个元素**，而$S \subseteq \langle S\rangle$，所以$(0,w) \in \langle S\rangle$。根据商空间等价类的定义，$(0,w) + \langle S\rangle = 0 + \langle S\rangle$，也就是$0\otimes w = 0$。

你之前得到的那个带$\alpha$、$\beta$的式子应该是走了多余的弯路，回到$S$定义的线性性本质上，这个证明其实非常直接~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AnalyticHarmony