拓扑空间开映射子空间限制：逆像集证明及反例

证明过程 #

你已经找对了方向：取$S$中的相对开集$O = S \cap O_1$，其中$O_1$是$X$中的开集。已知$f$是开满射，所以$f(O_1)$是$Y$中的开集，现在只需要证明**$f(O) = f(S) \cap f(O_1)$**，就能推出$f(O)$是$f[S]$中的相对开集（因为相对拓扑的开集就是$Y$中开集与$f[S]$的交集）。

我们来补全这个等式的证明：

• 你已经知道$f(S \cap O_1) \subset f(S) \cap f(O_1)$，这是集合映射的基本性质，不用多说。
• 现在证反向包含：任取$y \in f(S) \cap f(O_1)$，则存在$s \in S$和$x \in O_1$，使得$f(s) = y = f(x)$。
  由$f(x) = f(s)$可得$x \in f^{-1}[f(s)]$，而因为$s \in S$，所以$f(s) \in f[S]$，进而$f^{-1}[f(s)] \subset f^{-1}[f[S]]$。
  题目给出$f^{-1}[f[S]] = S$，所以$x \in S$，因此$x \in S \cap O_1$，从而$y = f(x) \in f(S \cap O_1)$。

这样就得到了$f(O) = f(S) \cap f(O_1)$，而$f(O_1)$是$Y$中的开集，所以$f(O)$是$f[S]$中的相对开集。由$O$的任意性，$f|_S: S \to f[S]$是开映射。

反例说明：当$S$不是逆像集时结论不成立 #

我们构造一个具体的例子：

• 取开满射$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$，定义为投影映射$f(x, y) = x$（投影映射都是开满射，因为$\mathbb{R}$中任意开集的原像是$\mathbb{R}^{2$中的竖条开集，而$f$把$\mathbb{R}}2$中的开集都映成$\mathbb{R}$中的开集）。
• 取子集$S = {(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}} \cup {(1, y) \mid y \in (0, 1)}$，显然$f[S] = \mathbb{R}$，而$f^{-1}[f[S]] = f^{-1}[\mathbb{R}] = \mathbb{R}^2 \neq S$，所以$S$不是$f$的逆像集。
• 看$S$中的相对开集$U = {(1, y) \mid y \in (0, 1)}$：它是$S$与$\mathbb{R}^2$中的开集${(x, y) \mid 0 < x < 2, 0 < y < 1}$的交集，因此是$S$中的相对开集。
• 但$f|_S(U) = {1}$，而${1}$在$f[S] = \mathbb{R}$中不是开集，这就说明$f|_S$不是开映射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者paarth