求证：含m个元素的集合A去掉单元素子集C后元素个数为m-1
需证明命题：若集合A含有m个元素，且$C \subseteq A$是单元素集合，则$A \setminus C$含有m-1个元素。
前置定义
- $N_m = {1,2,\ldots,m}$
你的这个证明思路非常扎实，完全走在正确的轨道上！只需要补全函数$h$是双射的验证，就能完成整个证明了，具体步骤如下：
已有的证明铺垫
已知集合A含有$m \in \mathbb{N}$个元素，因此存在双射$f:N_m \to A$。已知$C \subseteq A$仅含1个元素，记该元素为$a$（显然$a \in A$）。设$k \in N_m$是映射到$a$的元素，由于$f$是单射，故$k$唯一。我们定义函数：
$$h(q)= \begin{cases} f(q),&q=1,2,\ldots,k-1 \[2ex] f(q+1),&q=k,k+1,\ldots,m-1 \end{cases}$$
易知$h:N_{m-1} \to A\setminus C$。
第一步：验证$h$是单射
假设存在$q_1, q_2 \in N_{m-1}$，使得$h(q_1) = h(q_2)$，分三种情况讨论：
- 当$q_1, q_2 < k$时：此时$h(q_1)=f(q_1)$，$h(q_2)=f(q_2)$。因为$f$是双射（自带单射属性），所以$f(q_1)=f(q_2)$必然推出$q_1=q_2$。
- 当$q_1, q_2 \geq k$时：此时$h(q_1)=f(q_1+1)$，$h(q_2)=f(q_2+1)$。同样借助$f$的单射性，$f(q_1+1)=f(q_2+1)$可推出$q_1+1=q_2+1$，即$q_1=q_2$。
- 当$q_1 < k$，$q_2 \geq k$时：此时$h(q_1)=f(q_1)$属于${f(1), f(2), ..., f(k-1)}$，而$h(q_2)=f(q_2+1)$属于${f(k+1), f(k+2), ..., f(m)}$。由于$f$是单射，这两个集合没有交集（毕竟$f(k)=a$是唯一映射到$a$的元素），因此$h(q_1)$不可能等于$h(q_2)$。
综上，$h$满足单射的定义。
第二步：验证$h$是满射
任取$b \in A \setminus C$，则$b \neq a=f(k)$。因为$f$是双射（自带满射属性），必然存在某个$p \in N_m$使得$f(p)=b$，且$p \neq k$：
- 若$p < k$：令$q=p$，显然$q \in N_{m-1}$，此时$h(q)=f(p)=b$。
- 若$p > k$：令$q=p-1$，则$q \geq k$且$q \leq m-1$（因为$p \leq m$），所以$q \in N_{m-1}$，此时$h(q)=f(q+1)=f(p)=b$。
也就是说，$A \setminus C$中的任意元素都能被$h$映射到，$h$满足满射的定义。
最终结论
因为$h$是从$N_{m-1}$到$A \setminus C$的双射，根据集合元素个数的定义（若存在双射$N_n \to S$，则集合$S$含有$n$个元素），可以直接得出$A \setminus C$含有$m-1$个元素，命题得证。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Salman Qureshi
