Munkres拓扑中Example7定义的序关系：逻辑、含义与写法疑问

嘿，我来帮你把这个关系掰扯明白，搞懂它的逻辑、含义，还有为啥Munkres要这么定义它！

这个关系本质是一种两步走的分层比较，完全可以类比字典查词的逻辑——先看第一关键字，第一关键字相同再看第二关键字：

• 第一步（第一优先级）：比较两个数的平方值
  • 如果$x^2 < y^2$，直接判定$xCy$成立（也就是在这个序里，$x$比$y$“小”）；
  • 如果$x^2 > y^2$，那$xCy$就不成立；
• 第二步（第二优先级）：当两个数的平方相等时（也就是$x$和$y$是互为相反数，比如2和-2），再比较原数的大小
  • 这时候如果$x < y$，$xCy$成立（比如-2 C 2，因为$(-2)²⁼²2$，且-2<2）；
  • 如果$x > y$，$xCy$就不成立（比如2 C -2就不成立）。

给你举几个具体例子，瞬间就清楚了：

• 2 C 3：$2^2=4 < 3^2=9$，成立（2在这个序里比3小）；
• -2 C -3：$(-2)^2=4 < (-3)^2=9$，成立（-2在这个序里比-3小，这和咱们平时的序刚好相反！）；
• -2 C 2：平方相等，且-2<2，成立（-2在这个序里比2小，和平时一致）；
• 0 C -1：$0^2=0 < (-1)^2=1$，成立（0在这个序里比-1小，也和平时相反）；
• 1 C -1：平方相等，但1 > -1，所以不成立，反过来-1 C1是成立的。

Munkres拿这个例子，核心是帮你理解序关系的本质不是“平时的大小”，而是满足公理的规则。这个关系是一个非常典型的非平凡全序，它满足严格全序的三个必备条件：

1. 非自反性：任何数$x$都不会满足$xCx$——因为$x²=x²$但$x$不可能小于$x$；
2. 传递性：如果$xCy$且$yCz$，那一定有$xCz$。你可以分几种情况验证：比如$x²<y²$且$y²<z²$，那$x²<z²$直接推出$xCz$；如果$x²=y²$且$x<y$，同时$y²<z²$，那$x²<z²$也能推出$xCz$；要是$x²=y²$且$x<y$，同时$y²=z²$且$y<z$，那$x<z$也能推出$xCz$；
3. 完全性：任何两个不同的数$x$和$y$，要么$xCy$，要么$yCx$——要么平方不等（一个大一个小，对应一个成立），要么平方相等（互为相反数，一个大一个小，对应一个成立）。

而且这个序和我们平时用的实数<序完全不同：比如在这个序里，排序是$0 <_C -1 <_C 1 <_C -2 <_C 2 <_C -3 <_C 3...$，这种怪异的排序刚好能帮你打破“序就是平时大小”的思维定式，理解序关系只是一套满足规则的比较逻辑而已。

另外，这种“先比A属性，再比B属性”的构造方法是拓扑学里的常用技巧，本质是字典序的变种，用来生成各种不同的序结构，进而研究不同的拓扑空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user398843