如何将下限为0的求和式化为闭合形式？含示例求和式

步骤1：利用求和线性性质拆分式子 #

首先，我们可以借助求和的线性规则（$\sum (a_k - b_k) = \sum a_k - \sum b_k$）把原式拆成两个独立的求和项：
$$
\sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{n} - \frac{k^2}{n} \right) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n} - \sum_{k=0}^{n} \frac{k^2}{n}
$$

步骤2：计算第一个求和项 $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n}$ #

这个求和里每一项都是常数 $\frac{1}{n}$，从 $k=0$ 到 $k=n$ 一共有 $n+1$ 项（别漏了k=0这一项，所以不是n项），直接计算得：
$$
\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n} = (n+1) \times \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}
$$

步骤3：计算第二个求和项 $\sum_{k=0}^{n} \frac{k^2}{n}$ #

先把常数因子 $\frac{1}{n}$ 提出来，式子变为：
$$
\sum_{k=0}^{n} \frac{k^2}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} k^2
$$
我们熟悉的平方和公式是从 $k=1$ 开始的：$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。而当 $k=0$ 时，$k^2=0$，这一项对求和结果没有任何贡献，所以：
$$
\sum_{k=0}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 0 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
代入回去，第二个求和项的结果就是：
$$
\frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}
$$

步骤4：合并结果得到闭合形式 #

把两个求和项的结果相减，再提取公因子简化：
$$
\frac{n+1}{n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = (n+1) \left( \frac{1}{n} - \frac{2n+1}{6} \right)
$$
通分并整理分子后，最终的闭合形式可以写成：
$$
= \frac{(n+1)(6 - 2n^2 - n)}{6n} = -\frac{(n+1)(2n-3)(n+2)}{6n}
$$

关于求和下限为0而非1的转化技巧 #

当遇到求和下限是0的情况，核心思路分两种：

• 若k=0项贡献为0：像$k^2$、$k$这类式子，k=0时取值为0，直接把求和下限改成1就行，完全不影响结果，直接套用我们熟悉的从1开始的求和公式。
• 若k=0项不为0：比如常数项、$k^{0=1$这类，必须单独计算k=0的那一项，再加上从k=1到n的求和结果。比如$\sum_{k=0}}n c = c + \sum_{k=1}^n c = (n+1)c$，这里就不能直接用从1开始的n项求和，一定要补上k=0的项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rainydayss