指数方程组求解咨询：给定方程组的简便解法及过程解析

这个指数方程组看起来项的指数很复杂，但通过换元+观察方程结构的关联性可以大幅简化，不用硬做复杂的因式分解代换。下面是完整推导过程：

首先写出原方程组：
$$\begin{cases} x\cdot2^{{x-y}+3y\cdot2}{2x+y-1}=1 \hspace{0.1cm},\ x\cdot2^{{2x+y+1}+3y\cdot8}{x+y}=1\ \end{cases}$$

步骤1：观察结构关联，提取公共因子简化方程 #

先把第二个方程的指数项做等价变形：

• $8^{x+y} = 2^{3(x+y)} = 2^{(2x+y-1)+(x+2y)+1}$，展开后刚好等于$3x+3y$，和原指数一致；
• 第二个方程的第一项$x\cdot2^{2x+y+1} = x\cdot2^{(x-y)+(x+2y)+1} = x\cdot2^{x-y} \cdot 2^{x+2y+1}$

现在设两个临时变量：

• $u = x\cdot2^{x-y}$
• $v = 3y\cdot2^{2x+y-1}$

那么第一个方程直接简化为：
$$u + v = 1 \tag{1}$$

再看第二个方程，用u和v替换后可得：
$$x\cdot2^{2x+y+1} + 3y\cdot8^{x+y} = u\cdot2^{x+2y+1} + v\cdot2^{x+2y+1} = (u + v)\cdot2^{x+2y+1}$$
结合第二个方程右边等于1，再代入(1)式的$u+v=1$，就能得到：
$$1 \cdot 2^{x+2y+1} = 1$$

因为$2^k=1$当且仅当指数$k=0$，所以直接推出线性关系：
$$x + 2y + 1 = 0 \implies x = -1 - 2y \tag{2}$$

步骤2：代入线性关系求解变量 #

把(2)式的$x=-1-2y$代入第一个原方程，先化简指数部分：

• $(-1-2y)-y = -1-3y$，第一项变为$(-1-2y)\cdot2^{-1-3y} = \frac{-1-2y}{2^{1+3y}}$
• $2(-1-2y)+y-1 = -3-3y = -3(1+y)$，第二项变为$3y\cdot2^{-3(1+y)} = \frac{3y}{8^{1+y}}$

为了消去分母，两边同时乘以$8^{{1+y}$（也就是$2}{3(1+y)}$），得到：
$$4(-1-2y) + 3y = 8^{1+y}$$
左边化简后为$-4-5y$，右边是$8^{y+1}$，即：
$$-4-5y = 8^{y+1} \tag{3}$$

接下来试整数解：

• 当$y=-1$时，左边$=-4-5\times(-1)=1$，右边$=8^{0}=1$，等式成立！

再验证是否存在其他解：函数$f(y)=8^{y+1}+5y+4$是单调递增函数（指数函数递增，一次项系数为正），所以只有$y=-1$这一个解。

把$y=-1$代入(2)式，得$x=-1-2\times(-1)=1$。

步骤3：验证解的正确性 #

将$x=1, y=-1$代入原方程组：

• 第一个方程：$1\cdot2^{1-(-1)} + 3\times(-1)\cdot2^{2\times1+(-1)-1}=4-3=1$，成立；
• 第二个方程：$1\cdot2^{2\times1+(-1)+1} + 3\times(-1)\cdot8^{1+(-1)}=4-3=1$，成立。

所以方程组的唯一解就是$(x=1, y=-1)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Petar Petrovic