求解满足等式n! + 8 = 2^k的所有正整数对(n,k)

先直接给出所有有效解：

• ((4, 5))：验证一下，(4! + 8 = 24 + 8 = 32 = 2^5)，完全符合等式
• ((5, 7))：(5! + 8 = 120 + 8 = 128 = 2^7)，也满足条件

接下来一步步推导为什么只有这两组解：

首先对原等式做代数变形：
$$
\begin{align}
n! &= 2^k - 8 \
&= 2^k - 2^3 \
n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 &= 2³⁽²{k-3} - 1)
\end{align}
$$

这里要注意，最后一步的变形是 (2³⁽²{k-3} - 1)) 而非你之前写的 (2³⁽²k -1))，这个小疏漏可能是你后续假设出问题的原因之一。

从变形后的式子能看出，(n!) 被拆成了两部分的乘积：(2^3)（纯2的幂）和 (2^{k-3}-1)（一个奇数，因为2的幂是偶数，减1必然是奇数）。这意味着：(n!) 中所有质因子2的总个数必须恰好等于3，因为右边的奇数部分不含任何质因子2。

现在分情况讨论：

1. 当 (n < 4) 时：

   • (n=1)：(1! +8=9)，不是2的幂，直接排除
   • (n=2)：(2! +8=10)，不是2的幂，排除
   • (n=3)：(3! +8=14)，不是2的幂，排除

2. 当 (n=4) 和 (n=5) 时：

   • (4!) 中质因子2的个数是 (2 +1=3)（计算方式：(\lfloor 4/2 \rfloor + \lfloor 4/4 \rfloor)），刚好等于3，所以 (4!/8=3)，是奇数，对应 (2^{k-3}-1=3)，解得 (k-3=2)，即 (k=5)，符合条件
   • (5!) 中质因子2的个数同样是3（(\lfloor 5/2 \rfloor + \lfloor 5/4 \rfloor=2+1=3)），(5!/8=15)，是奇数，对应 (2^{k-3}-1=15)，解得 (k-3=4)，即 (k=7)，符合条件

3. 当 (n \geq6) 时：
   此时 (n!) 中质因子2的个数会超过3，比如 (6!) 中质因子2的个数是 (3+1=4)，(8!) 更是达到 (4+2+1=7)。这意味着 (n!/8) 仍然会包含质因子2，也就是 (n!/8) 是偶数，但右边的 (2^{k-3}-1) 是奇数，偶数不可能等于奇数，直接矛盾。即使不考虑这个，(n \geq6) 时 (n!) 还会包含3、5、7等奇质因子，这些都需要整除 (2^{k-3}-1)，但仅从质因子2的矛盾就能判断不存在解。

你之前提到的“n!中的每个数都能整除2^3和2k-1”这个假设是不准确的，正确的逻辑是 (n!) 的所有质因子要么属于2的幂部分，要么属于那个奇数部分，而不是每个乘数都要整除其中某一部分。这个错误的假设可能会让你在寻找解的时候走偏。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Landuros