箱中取球概率问题咨询：如何推导P(X>k)的计算公式

这个问题其实可以换个角度理解，比你想的求和找规律要直接得多～首先我们先明确$X$的定义：$X$是首次取出与之前球同色的取球次数，所以$X > k$等价于：前$k$次取出的所有球，颜色完全互不重复（如果前$k$次有任何重复，那$X$必然≤k）。

基于这个核心逻辑，我们分两种情况讨论：

情况1：$k > n$ #

因为箱子里只有$n$种颜色，根据鸽巢原理，前$k$次取球中至少会有一个颜色被取到至少两次，所以此时$X$必然≤k，因此：
$$P(X > k) = 0$$

情况2：$2 ≤ k ≤ n$ #

我们可以直接计算前$k$次取球颜色全不同的概率：

• 第1次取球：任意颜色都符合要求，概率为$1$；
• 第2次取球：需要取到和第1次不同的颜色，箱子里有$2n-2$个非第1次颜色的球，概率为$\frac{2n-2}{2n} = \frac{n-1}{n}$；
• 第3次取球：需要取到和前两次都不同的颜色，箱子里有$2n-4$个符合条件的球，概率为$\frac{2n-4}{2n} = \frac{n-2}{n}$；
• ...
• 第$k$次取球：需要取到和前$k-1$次都不同的颜色，箱子里有$2n - 2(k-1)$个符合条件的球，概率为$\frac{2n - 2(k-1)}{2n} = \frac{n - k + 1}{n}$；

把这些独立事件的概率相乘，就得到：
$$
P(X > k) = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{n - i}{n} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n - k + 1)}{n^k} = \frac{n!}{n^k \cdot (n - k)!}
$$

验证你的求和思路 #

你提到的通过$1 - \sum_{i=2}^k P(X=i)$推导的思路是可行的，我们可以用$k=2$和$k=3$验证：

• $k=2$时：$P(X=2) = \frac{1}{n}$，所以$1 - P(X=2) = \frac{n-1}{n}$，和上面的公式结果一致；
• $k=3$时：$P(X=2)=\frac{1}{n}$，$P(X=3)=\frac{n-1}{n} \times \frac{2}{n}$（前两次不同，第三次取到前两种颜色之一），求和得$\frac{1}{n} + \frac{2(n-1)}{n^2} = \frac{3n-2}{n^2}$，$1 -$这个值为$\frac{n^2 -3n +2}{n^2} = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}$，也和公式结果一致。

不过直接利用$X>k$的等价事件（前k次颜色全不同）来计算，比求和找规律要简洁得多～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus