已知满足cos(f(x))=1等条件的函数f:ℝ→ℝ*，求f(100)的值

首先，我们一步步拆解这个问题：

第一步：从三角方程入手 #

已知对任意$x \in \mathbb{R}$，$\cos(f(x))=1$。根据余弦函数的性质，$\cos\theta=1$当且仅当$\theta=2k\pi$，其中$k$是整数。所以对每个$x$，$f(x)$必须是$2k\pi$的形式（$k \in \mathbb{Z}$）。

第二步：利用存在原函数的关键条件 #

函数$f$存在原函数，这意味着$f$是达布函数（满足介值定理）——简单来说，$f$不能出现跳跃式的取值变化：如果$f$在某两个点取了不同的值，那它必须能取到这两个值之间的所有中间值。

但我们已经知道$f(x)$只能取$2k\pi$这类离散的整数倍$2\pi$的值，要满足介值性，$f$只能是常数函数——否则的话，假设$f$在$x_1$取$2k\pi$，在$x_2$取$2m\pi$（$k \neq m$），介值性要求$f$能取到$2k\pi$和$2m\pi$之间的非$2n\pi$值，这和$\cos(f(x))=1$的条件矛盾。因此$f(x)=C$，其中$C=2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。

第三步：结合不等式确定常数$C$ #

题目给出$|f(\pi)-\pi| \leq \pi$，代入$f(\pi)=C=2k\pi$：
$$
|2k\pi - \pi| \leq \pi
$$
两边除以$\pi$得：
$$
|2k - 1| \leq 1
$$
解这个绝对值不等式：
$$
-1 \leq 2k - 1 \leq 1 \implies 0 \leq 2k \leq 2 \implies 0 \leq k \leq 1
$$
因为$k$是整数，所以$k=0$或$k=1$。

再结合函数的值域$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*$（$\mathbb{R}}*$表示非零实数）：

• 若$k=0$，则$C=0$，不属于$\mathbb{R}^*$，排除；
• 若$k=1$，则$C=2\pi$，属于$\mathbb{R}^*$，满足所有条件。

结论 #

$f(x)$是常数函数$2\pi$，因此$f(100)=2\pi$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Guy Fsone