函数何时达到下确界？全空间达下确界的函数限制到闭凸集是否必达

答案是不一定——哪怕$f$在整个$\mathbb{R}^d$上能妥妥取到全局最小值，把它限制在无界闭凸子集$A$上时，未必能拿到$A$上的下确界。

核心原因 #

能不能取到下确界，关键看$f$在$A$的“无穷远端”的表现：如果$f$沿着$A$里的某条射线不断趋近于某个值，但永远达不到这个值，那$A$上的下确界就没法被取到。

直观反例 #

举个一维的简单例子就懂了：
定义函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$：
$$
f(x) =
\begin{cases}
0, & x=0 \
1 + \frac{1}{x^2}, & x\neq0
\end{cases}
$$
显然，$f$在全体实数上的最小值是$0$，在$x=0$处取到。

现在取无界闭凸子集$A=[1,+\infty)$：

• $f$在$A$上的下确界是$1$（当$x$趋向于正无穷时，$f(x)$无限靠近$1$）；
• 但对于所有$a\in A$，$f(a)=1+\frac{1}{a^2}$永远大于$1$，不存在任何$a\in A$能让$f(a)=1$。

这就直接验证了“不一定”的结论。

额外补充：何时能确保取到下确界？ #

如果给$f$或$A$加一些约束，就能保证$f$在$A$上取到下确界，比如：

• $f$是凸函数，且$f$在$A$上是强制的（意思是当$A$里的点$x$的模长趋向于无穷时，$f(x)$也趋向于正无穷）；
• 或者$f$是下半连续的，且$A$是弱紧集（不过无界集合的弱紧通常需要配合凸闭和$f$的强制性条件）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Namch96