求使分段函数f(x)在ℝ上连续的a、b值，已得a=-1求b

你已经正确算出了(a=-1)，接下来我们一步步拆解(x \to 0^-)时的极限来求(b)：

步骤1：回顾连续的核心条件 #

函数在(x=0)处连续，必须满足：

• 左极限(\lim_{x \to 0^-} f(x))存在
• 右极限(\lim_{x \to 0^+} f(x))存在
• 左极限 = 右极限 = (f(0))

你已经通过右极限推导出(a=-1)，我们直接代入(a=-1)处理左极限部分。

步骤2：拆分左极限的两项计算 #

当(x < 0)时，(f(x) = 2ax^{2\sin\frac{1}{x}2} + b\arctan(e^{-1/x}))，代入(a=-1)后变为：
[f(x) = -2x^{2\sin\frac{1}{x}2} + b\arctan(e^{-1/x})]
我们分别计算这两项的极限：

第一项：(\lim_{x \to 0^-} -2x^{2\sin\frac{1}{x}2}) #

• 当(x \to 0^-)时，(x2 \to 0)（属于无穷小量）
• (\sin\frac{1}{x^2})的值域始终被限制在([-1,1])之间，是有界函数
  根据“无穷小量 × 有界函数 = 无穷小量”的性质，这部分的极限为(0)。

第二项：(\lim_{x \to 0^-} b\arctan(e^{-1/x})) #

先分析(e^{-1/x})的趋势：

• 当(x \to 0^-)时，(x)是趋近于0的负数，因此(-1/x = \frac{1}{|x|} \to +\infty)
• 由此可得(e^{-1/x} = e^{\frac{1}{|x|}} \to +\infty)
  而反正切函数(\arctan(t))的特性是：当(t \to +\infty)时，(\arctan(t) \to \frac{\pi}{2})
  所以这部分的极限为(b \times \frac{\pi}{2})

步骤3：结合连续条件求解b #

左极限的整体结果为(0 + \frac{b\pi}{2} = \frac{b\pi}{2})
同时，(f(0) = 2a + 1 = 2\times(-1) + 1 = -1)
根据连续的要求，左极限必须等于(f(0))，因此：
[
\frac{b\pi}{2} = -1
]
解得：
[
b = -\frac{2}{\pi}
]

总结：使得(f(x))在(\mathbb{R})上连续的参数为(a=-1)，(b=-\frac{2}{\pi})

内容的提问来源于stack exchange，提问作者x1124970