如何证明n阶方阵的集合S={Iₙ,A,A²,…,Aⁿ²}线性相关

嘿，我来帮你理清这个问题——其实你完全不用假设A可逆，这个结论对所有n阶方阵都成立，核心思路从向量空间的维度入手就够了，咱们一步步拆解：

第一步：明确n阶方阵所在的向量空间维度 #

所有n阶方阵构成的集合是一个向量空间（记为$M_n(F)$，$F$是你正在用的数域，比如实数域$\mathbb{R}$或复数域$\mathbb{C}$），这个空间的维度是$n^{2$。为什么？因为你可以用$n}2$个“标准基矩阵”来张成整个空间：每个基矩阵只有一个位置是1，其余全是0，比如$E_{ij}$表示第i行第j列是1的矩阵，这些矩阵一共有$n \times n = n^{2$个，而且它们线性无关，所以这个向量空间的维度就是$n}2$。

第二步：利用向量空间的基本性质判断线性相关性 #

向量空间有个关键性质：任何包含超过空间维度个元素的集合，必然线性相关。原因很简单：向量空间里最多只能找到$dim(V)$个线性无关的元素（这就是维度的定义），如果元素数量超过这个数，肯定没法全部线性无关。

现在看你的集合$S = {I_n, A, A^2, ..., A^{n2}}$，这里面一共有多少个元素？从$A^0=I_n$到$A{n^{2}$，总共是$n}2 + 1$个元素。而$M_n(F)$的维度是$n^{2$，显然$n}2 + 1 > n^2$，所以根据上面的性质，$S$必然线性相关。

换句话说，一定存在不全为零的系数$a_0, a_1, ..., a_{n^2}$，使得：
$$a_0 I_n + a_1 A + a_2 A^2 + ... + a_{n^2} A^{n2} = 0$$

纠正一个小误解 #

你之前提到“若单位矩阵的系数非零，可推导A可逆”，但其实这个结论里A可逆不是必要条件，甚至系数也不一定是$a_0$非零。比如当A是零矩阵时，$A^1, A^2, ..., A^{n2}$全是零矩阵，那随便取一个非零系数给A，其他系数为0，就能得到非平凡的线性组合等于零矩阵，这已经满足线性相关的定义了。

如果你想深化理解，其实还有更强的结论：根据Cayley-Hamilton定理，A满足它自己的特征多项式（次数为n），也就是说$A^n$可以用$I_n, A, ..., A^{{n-1}$线性表示，那更高次的幂（比如$A}{n^2}$）自然也能被前面的低次幂线性表示，不过这个是额外的延伸，你的问题用向量空间维度的基本性质就完全能解决了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user7240099