求证：若V=W₁⊕W₂且W₁⊆子空间W，则W=(W∩W₁)⊕(W∩W₂)

先把要证的命题明确下来：

若向量空间 ( V = W_1 \oplus W_2 )，且 ( W ) 是任意满足 ( W_1 \subseteq W ) 的子空间，求证 ( W = (W \cap W_1) \oplus (W \cap W_2) )。

证明过程 #

已知 ( V = W_1 \oplus W_2 ) 是直和，且 ( W ) 是包含 ( W_1 ) 的任意子空间，咱们分两种情形来讨论：

情形1：( W = W_1 ) #

因为 ( W = W_1 )，所以 ( w \in W ) 当且仅当 ( w \in W_1 )。结合直和的性质，( W_1 ) 中的元素都不在 ( W_2 ) 中，因此 ( W \cap W_2 = \emptyset )。

此时计算直和：( (W \cap W_1) \oplus (W \cap W_2) = W \oplus \emptyset = W )，显然等式成立。

情形2：( W \neq W_1 ) 且 ( W_1 \subseteq W ) #

这种情况下，必然存在元素 ( w \in W ) 但 ( w \notin W_1 )。由于 ( V = W_1 \oplus W_2 ) 是直和，根据直和的定义，这个 ( w ) 可以唯一分解为 ( w = w_1 + w_2 )，其中 ( w_1 \in W_1 )，( w_2 \in W_2 )，而且 ( w_2 \neq 0 )（否则 ( w = w_1 \in W_1 )，和 ( w \notin W_1 ) 矛盾）。

接下来要验证直和的两个核心条件：

• 条件1：( W ) 中任意元素可分解为两个子空间元素的和
  任取 ( x \in W )，因为 ( V = W_1 \oplus W_2 )，所以 ( x ) 有唯一分解 ( x = x_1 + x_2 )，其中 ( x_1 \in W_1 \subseteq W )，( x_2 \in W_2 )。
  因为 ( x \in W ) 且 ( x_1 \in W )，向量空间对减法封闭，所以 ( x_2 = x - x_1 \in W )，因此 ( x_2 \in W \cap W_2 )。而 ( x_1 \in W_1 \subseteq W )，所以 ( x_1 \in W \cap W_1 )。
  这样就得到 ( x = x_1 + x_2 )，即 ( W ) 中任意元素都能表示为 ( W \cap W_1 ) 和 ( W \cap W_2 ) 中元素的和。

• 条件2：两个子空间的交集只有零向量
  假设存在非零元素 ( y \in (W \cap W_1) \cap (W \cap W_2) )，那么 ( y \in W_1 \cap W_2 )。但 ( V = W_1 \oplus W_2 ) 是直和，直和的定义要求 ( W_1 \cap W_2 = {0} )，这就产生了矛盾。因此 ( (W \cap W_1) \cap (W \cap W_2) = {0} )。

结合两个条件，完全满足直和的定义，因此 ( W = (W \cap W_1) \oplus (W \cap W_2) ) 成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheLast Cipher