如何证明对称分布下均值$ar{x}$与中位数$ ilde{x}$相等？

首先来聊聊你给出的对称分布定义：你用绝对频数定义为「对任意数$c$，有$f(\tilde{x}+c)=f(\tilde{x}-c)$」，这个定义对于离散观测样本集合来说是完全合理的！它本质上描述了样本围绕中位数$\tilde{x}$呈现镜像对称——每个比中位数大$c$的数值出现的次数，和比中位数小$c$的数值出现的次数完全一致。不过可以补充一点：如果是针对连续型的理论分布（或者样本近似连续的情况），我们通常会用概率密度函数来定义对称，即围绕中心$m$，有$f(m+c)=f(m-c)$，和你的定义核心逻辑是一致的，只是把频数换成了密度。

接下来我们就基于你这个样本层面的对称定义，来证明均值$\bar{x}$和中位数$\tilde{x}$相等：

假设我们的观测集合$x_1,x_2,...,x_n$围绕$\tilde{x}$对称，也就是满足你给出的频数条件。我们可以把样本分成三类：

• 等于$\tilde{x}$的样本：设这类样本有$k$个，它们的总和是$k*\tilde{x}$
• 大于$\tilde{x}$的样本：每个这样的样本都可以写成$\tilde{x}+d$（$d>0$），根据对称定义，每个$\tilde{x}+d$都对应一个$\tilde{x}-d$的样本，且两者出现的次数相同。假设这类配对共有$m$对，每一对的和是$(\tilde{x}+d)+(\tilde{x}-d)=2\tilde{x}$，所以所有配对样本的总和是$m*2\tilde{x}$

现在计算所有样本的总和：
$$
\sum_{i=1}^n x_i = k*\tilde{x} + m*2\tilde{x} = (k+2m)\tilde{x}
$$
而样本总数$n=k+2m$，所以均值：
$$
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{(k+2m)\tilde{x}}{k+2m} = \tilde{x}
$$

如果样本数是奇数，那$k=1$（中间那个样本就是$\tilde{x}$），剩下的$n-1$个样本刚好组成$m=(n-1)/2$对；如果是偶数，$k$可以是0或者2（比如有两个数值都是中位数），不管哪种情况，所有样本的总和都是$n*\tilde{x}$，均值自然等于中位数。

这里要注意，我们的推导基于一个默认前提：当样本对称时，中位数$\tilde{x}$就是这个对称中心，这也是你的定义里已经明确的，所以整个逻辑是自洽的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sasaki