Lipschitz连续函数积分与黎曼和的误差界正确性确认
我来一步步推导这个误差界，帮你确认Courant书中结果的正确性——你之前算出来的$\frac{M}{2n²}$其实是单个小区间的误差上限，把所有n个区间的误差加起来就得到了$\frac{M}{2n}$，具体过程如下：
第一步：拆分积分与和式
把区间$[0,1]$划分为n个等长小区间$I_k = \left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，其中$k=1,2,...,n$。那么定积分可以拆成每个小区间积分的和：
$$\int_0^1 f(x) dx = \sum_{k=1}^n \int_{I_k} f(x) dx$$
而矩形和$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$可以写成每个小区间上常函数$f\left(\frac{k}{n}\right)$的积分和：
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{I_k} f\left(\frac{k}{n}\right) dx$$第二步：利用三角不等式放缩
原不等式左边可以转化为：
$$\left\lvert\sum_{k=1}^n \left( \int_{I_k} f(x) dx - \int_{I_k} f\left(\frac{k}{n}\right) dx \right) \right\rvert$$
根据三角不等式，这个绝对值不超过每个小区间对应差值的绝对值之和：
$$\sum_{k=1}^n \left\lvert \int_{I_k} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx \right\rvert$$第三步：结合Lipschitz条件估计积分
对于每个小区间$I_k$里的任意x，由Lipschitz连续性有：
$$|f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)| < M \left| x - \frac{k}{n} \right| = M \left( \frac{k}{n} - x \right)$$
（因为$x \leq \frac{k}{n}$，所以绝对值可以去掉符号）积分的绝对值不超过绝对值的积分，因此单个小区间的差值满足：
$$\left\lvert \int_{I_k} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx \right\rvert < \int_{I_k} M \left( \frac{k}{n} - x \right) dx$$第四步：计算单个区间的积分值
计算这个定积分：
$$\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} M \left( \frac{k}{n} - x \right) dx = M \cdot \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{k}{n} - x \right)^2 \right]_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} = M \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{M}{2n^2}$$第五步：求和得到总误差界
把n个小区间的误差上限加起来：
$$\sum_{k=1}^n \frac{M}{2n^2} = n \cdot \frac{M}{2n^2} = \frac{M}{2n}$$结合前面的严格小于关系，最终就得到：
$$\left\lvert\int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\right\rvert < \frac{M}{2n}$$
简单说下你之前的误区：你算出的$\frac{M}{2n²}$是单个小区间的误差上限，而总误差是n个区间的误差之和，乘以n之后就完全匹配Courant书中的结果了，这个结论是正确的。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者helios321
