关于t分布平方、F分布倒数的分布及证明方法的技术问询

问题1：若随机变量Y服从t分布，Y²的分布是什么？ #

直接给出结论：如果Y服从自由度为n的t分布（记为$Y \sim t(n)$），那么$Y^2$服从自由度为(1, n)的F分布，即$Y^2 \sim F(1, n)$。

问题2：如何证明$t(n)$变量的平方是$F(1,n)$？直接平方pdf可行吗？ #

首先明确：不能直接把Y的概率密度函数（pdf）平方后来对比，这是对随机变量函数分布的误解。随机变量函数的分布需要通过变量替换法推导，或者更简单的——利用t分布和F分布的定义来证明，后者更直观：

1. 回忆t分布的定义：若$Z \sim N(0,1)$（标准正态分布），$\chi_n^2 \sim \chi^{2(n)$（自由度为n的卡方分布），且Z和$\chi_n}2$相互独立，那么
   $$Y = \frac{Z}{\sqrt{\chi_n^2 / n}} \sim t(n)$$
2. 对Y取平方：
   $$Y^2 = \frac{Z^2}{\chi_n2 / n}$$
3. 注意到$Z^2 \sim \chi^{2(1)$（标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布），而$\chi_n}2$仍然是自由度n的卡方分布，且$Z^2$与$\chi_n2$依然独立（因为Z和$\chi_n^2$独立）。
4. 再看F分布的定义：若$\chi_m^2 \sim \chi^{2(m)$，$\chi_n}2 \sim \chi^2(n)$，且两者独立，那么
   $$F = \frac{\chi_m^2 / m}{\chi_n^2 / n} \sim F(m,n)$$
   这里令m=1，代入就得到$Y^2 = \frac{\chi_1^2 / 1}{\chi_n^2 / n} \sim F(1,n)$，完美契合F分布的定义。

如果非要用pdf对比，需要通过变量替换法求$Y^{2$的pdf：设$X=Y}2$，当x>0时，$Y=\pm\sqrt{x}$，利用随机变量函数的pdf公式推导，最终得到的结果会和$F(1,n)$的pdf完全一致，但这个过程计算量较大，远不如用定义推导简洁。

问题3：若$Y \sim F(m,n)$，1/Y的分布是什么？可以用类似方法吗？ #

当然可以用类似的定义法推导，非常直接：

1. 根据F分布的定义，$Y = \frac{\chi_m^2 / m}{\chi_n^2 / n}$，其中$\chi_m^2 \sim \chi^{2(m)$，$\chi_n}2 \sim \chi^2(n)$，且两者独立。
2. 取倒数：
   $$\frac{1}{Y} = \frac{\chi_n^2 / n}{\chi_m^2 / m}$$
3. 对比F分布的定义，这正好是自由度为(n, m)的F分布，即$\frac{1}{Y} \sim F(n,m)$。

同样，你也可以用变量替换法推导1/Y的pdf，最终结果会和$F(n,m)$的pdf一致，但定义法依然是最高效的方式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者studious123