求非负x,y,z下分式多元函数f(x,y,z)的最小值及猜想证明

让我一步步来解决这两个问题：

首先明确函数的定义域：$x+y \neq 0$，$x+z \neq 0$，$y+z \neq 0$（即任意两个变量不能互为相反数）。

在这个定义域下，函数没有最小值，可以趋向负无穷。举个直观的例子：
取$x=1$，$z=2$，让$y$从右侧趋近于2（即$y \to 2^{+$），此时分母$(y-z)=y-2$会趋近于$0}+$，结合通分后的函数表达式，函数值会无限减小。本质上，只要调整变量让分母中的某个因子趋近于0，同时分子保持有限值，就能让函数值无限降低，因此不存在最小值。

非负值意味着$x,y,z \geq 0$，且满足定义域条件：$x+y > 0$，$x+z > 0$，$y+z > 0$（即最多有一个变量为0，且不能全为0）。你的猜想是对的，当$x=y=z$时函数取最小值$\frac{3}{4}$，证明如下：

步骤1：代数变形简化函数 #

先对函数通分，分母统一为$(x+y)(y+z)(z+x)$，分子展开：
$$
\begin{align*}
\text{分子} &= x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) \
&= x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y
\end{align*}
$$
分母展开后可以发现：
$$
(x+y)(y+z)(z+x) = \text{分子} + 2xyz
$$
因此函数可以改写为：
$$
f(x,y,z) = 1 - \frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}
$$

步骤2：用均值不等式求最大值 #

要找$f(x,y,z)$的最小值，等价于找$\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$的最大值（因为$f=1-$这个值，该值越大，$f$越小）。

根据均值不等式，对非负实数$a,b$有$a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号当且仅当$a=b$时成立。分别对三组变量应用：

• $x+y \geq 2\sqrt{xy}$
• $y+z \geq 2\sqrt{yz}$
• $z+x \geq 2\sqrt{zx}$

将三个不等式相乘：
$$
(x+y)(y+z)(z+x) \geq 2\sqrt{xy} \times 2\sqrt{yz} \times 2\sqrt{zx} = 8xyz
$$
两边同时除以$(x+y)(y+z)(z+x)$（非负且不为0），得到：
$$
\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \leq \frac{1}{8}
$$
等号当且仅当$x=y=z$时成立（三组均值不等式的等号条件同时满足）。

步骤3：得出最小值 #

将上述结果代入$f(x,y,z)$的表达式：
$$
f(x,y,z) = 1 - 2 \times \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq 1 - 2 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}
$$
当且仅当$x=y=z$时，等号成立，此时$f(x,y,z)=\frac{3}{4}$。

验证特殊情况 #

比如取$z=0$，$x=y=1$，则$f=\frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{1 \times 2} + 0 = 1 > \frac{3}{4}$；取$x=1,y=0,z=1$，结果同样为1，都大于$\frac{3}{4}$，说明变量为0时函数值更大，进一步验证了$\frac{3}{4}$是最小值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aid78