独立均匀分布离散变量的最大值概率求解：求P(max(X,Y)=k)

Hey，我来帮你梳理下这个概率题的推导问题～

先明确问题背景：已知X和Y相互独立，且都在集合{1,2,...,n}上服从均匀分布，我们需要求当1≤k≤n时，概率P(max(X,Y)=k)的值。

首先看你给出的推导过程：

P(max(X, Y) = k)
= P(X = k ∩ X > Y) + P(Y = k ∩ Y > X)
= P(X=k)P(X>Y|X=k) + P(Y=k)P(Y>X|Y=k)
= \frac{1}{n} \cdot \frac{k-1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{k-1}{n}
= \frac{2(k-1)}{n^2}

这里其实漏掉了一种关键情况！当X和Y都等于k的时候，max(X,Y)也是k，这部分事件被你忽略啦～

下面是正确的推导步骤：

我们可以把满足max(X,Y)=k的所有情况拆分成三部分：

• X=k，且Y < k
• Y=k，且X < k
• X=k，且Y=k

因为X和Y是相互独立的，所以我们可以分别计算每一部分的概率，再相加：

1. 计算P(X=k且Y<k)：
   P(X=k) = \frac{1}{n}，P(Y<k) = \frac{k-1}{n}，所以这部分概率是 \frac{1}{n} \times \frac{k-1}{n} = \frac{k-1}{n^2}

2. 计算P(Y=k且X<k)：
   和第一部分对称，概率也是 \frac{k-1}{n^2}

3. 计算P(X=k且Y=k)：
   P(X=k) = \frac{1}{n}，P(Y=k) = \frac{1}{n}，所以这部分概率是 \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}

把这三部分加起来：
\frac{k-1}{n^2} + \frac{k-1}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{2(k-1)+1}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}

这样就和教材给出的正确答案一致了！

另外还有一种更简便的验证思路：利用概率的补集思想。我们知道P(max(X,Y)≤k)表示X和Y都不超过k的概率，也就是 (\frac{k}{n})^2；而P(max(X,Y)≤k-1)表示X和Y都不超过k-1的概率，即 (\frac{k-1}{n})^2。那么P(max(X,Y)=k)就等于这两个概率的差：
(\frac{k}{n})^2 - (\frac{k-1}{n})^2 = \frac{k^2 - (k^2 - 2k +1)}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}
结果完全一致，也能验证我们的推导是对的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_Abacus