非奇异簇的态射提升问题及相关结论问询（含模空间场景）

首先直接给结论：不是所有双有理态射都能让任意非奇异簇$Z$到$Y$的态射提升到$X$。举个直观的例子：假设$Y$是一条有节点的奇异曲线，$X$是它的正规化（双有理态射$f:X\to Y$把节点拆成两个光滑点）。现在取$Z=Y$，$g$是$Y$到自身的恒等态射——你根本没法找到态射$h:Y\to X$使得$f\circ h=g$，因为$Y$的节点处的点在$X$里对应两个不同的点，而$Y$的节点是一个单点，态射没法把一个点映射到两个点，这就直接说明了提升不是总能实现的。

除了爆破的泛性质，还有几个常用的相关结论：

• 正规化的泛性质：如果$X$是$Y$的正规化（$Y$既约），那么对于任何正规概形$Z$，任意态射$g:Z\to Y$都能唯一提升为态射$h:Z\to X$。注意这里的前提是$Z$正规，而非奇异簇当然属于正规概形，所以这个结论对非奇异$Z$也适用，但只针对正规化这种双有理态射。
• 对数分解的提升性质：如果$f:X\to Y$是$Y$的对数分解（即$X$光滑，$f$双有理，且$f$的例外轨迹与$Y$的奇点轨迹的原像构成简单正常交叉除子），那么对于那些“与$Y$的奇点相容”的态射$g:Z\to Y$（比如$g$的像不穿过$Y$的奇点，或者穿过的方式是对数平坦的），可以提升到$X$。
• 双有理分解的链式提升：任何光滑簇之间的双有理态射$f:X\to Y$都能分解为一系列爆破和逆爆破的复合。如果你的态射$g$能在每个爆破步骤中满足提升条件（比如爆破的泛性质要求的拉回理想可逆），那么就能一步步提升到$X$。

你提到的场景：$C$是光滑复射影曲线，$p\in C$是定点，$M_r$（或$M_r^s$）是$C$上满足$\det E=\mathcal{O}_C$的秩$r$半稳定（或稳定）向量丛的模空间。虽然你没写完具体问题，但我可以结合双有理提升的思路提几个关键点：

• 首先，$M_r$通常是正规的（比如当曲线亏格$g\geq2$，$r\geq2$时），它的奇点一般出现在非稳定的半稳定向量丛对应的点（即存在非平凡子丛的半稳定丛）。如果考虑从光滑曲线$Z$到$M_r$的态射$g$，如果$g(Z)$不经过$M_r$的奇点，那么$g$本身就是到光滑点集的态射，自然可以提升到$M_r$的任何双有理光滑模型（比如爆破奇点得到的$X$）；但如果$g(Z)$经过奇点，提升就需要满足额外条件，比如$X$是$M_r$的对数分解，且$g$的像与例外轨迹的相交方式符合要求。
• 另一个常见的双有理态射是从$M_r$的紧化（比如Uhlenbeck紧化或Simpson紧化）到$M_r$，这类紧化通过添加退化的 torsion-free 层得到，双有理态射是遗忘 torsion 部分。这时候提升态射$g:Z\to M_r$到紧化空间，等价于把$g$对应的一族半稳定向量丛扩展为一族允许退化的 torsion-free 层，这通常需要族在$Z$的某些点上能满足退化的相容性条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mike