从(ℚ,+)到自身及(ℚ*,·)到自身的群同态问题求证

咱们先逐个拆解你提到的结论细节，再聊聊乘法群的那些额外限制：

一、加法群(ℚ,+)的自同态结论验证 #

你的结论完全正确，咱们来梳理推导逻辑：

• 所有同态均可表示为φ(x)=ax（a=φ(1)）：
  对任意有理数x=m/n（m∈ℤ，n∈ℕ*），根据群同态的线性性：
  φ(x) = φ(m·(1/n)) = m·φ(1/n)，而n·φ(1/n)=φ(n·(1/n))=φ(1)=a，所以φ(1/n)=a/n，代入后就得到φ(x)=a·(m/n)=ax，这个推导是严谨的。
• 这类同态共有ℵ₀个：
  这里的a可以取任意有理数，而有理数集合的基数是ℵ₀，对应的同态数量自然也是ℵ₀个。
• 除平凡零同态外均为满同态：
  当a≠0时，对任意y∈ℚ，取x=y/a，那么φ(x)=a·(y/a)=y，这说明φ是满射；而群同态只要是满射就是满同态，这条结论也成立。

二、乘法群(ℚ*,·)的自同态额外限制 #

首先，φ(1)=1是群同态的基本性质（单位元必然映射到单位元），除此之外还有不少关键约束：

• 关于-1的映射约束：
  因为(-1)²=1，所以φ((-1)²)=φ(1)=1，根据同态性质φ((-1)²)=φ(-1)²，因此φ(-1)²=1，在ℚ*中满足这个等式的元素只有1和-1，所以φ(-1)只能是这两个值之一。
• 关于素数的映射约束：
  正有理数乘法群(ℚ⁺,·)是自由阿贝尔群，所有素数构成它的一组基——任何正有理数都能唯一表示为素数的整数次幂乘积。因此，同态φ在ℚ⁺上的行为完全由它在每个素数p上的像φ(p)决定，但φ(p)必须是ℚ*中的非零有理数（可以是负数，但要结合φ(-1)的选择保证同态一致性）。
• 幂次的保持性：
  对任意x∈ℚ*和整数k，φ(xᵏ)=φ(x)ᵏ。比如，如果x是某个元素的k次幂（比如x=4=2²），那么φ(x)必须是φ(2)的平方；但反过来，即使x不是k次幂（比如x=2），φ(x)也可以是某个元素的k次幂（比如定义φ(2)=9=3²），只要满足同态的乘法规则就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user422112