求微分方程y'=Ay的基本解组，A为给定二阶矩阵

嘿，我来帮你理清这个问题！既然已经知道特征值 $\lambda_1=2$、$\lambda_2=1$ 都是单根（代数和几何重数都为1），那直接用特征向量法就能轻松构造基本解组，步骤很清晰：

第一步：求每个特征值对应的特征向量 #

特征向量 $\mathbf{v}$ 满足 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，我们逐个来算：

对应 $\lambda_1=2$： #

先写出矩阵 $A - 2I$：
$$
A - 2I = \begin{pmatrix} 2-2 & 1 \ 0 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix}
$$
解这个齐次方程组，你会发现两个方程其实是等价的：$v_2 = 0$，$v_1$ 可以取任意非零值，比如取 $v_1=1$，得到特征向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$。

那对应的解就是：
$$
\mathbf{y}_1(t) = e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 = e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{2t} \ 0 \end{pmatrix}
$$

对应 $\lambda_2=1$： #

同样构造矩阵 $A - I$：
$$
A - I = \begin{pmatrix} 2-1 & 1 \ 0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
解方程组得到 $v_1 + v_2 = 0$，也就是 $v_1 = -v_2$。我们取 $v_2=1$，那 $v_1=-1$，特征向量就是 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$（当然你取 $v_2=-1$、$v_1=1$ 也完全没问题，只是符号不同，不影响线性无关性）。

对应的解是：
$$
\mathbf{y}_2(t) = e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 = e^{t}\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{t} \ e^{t} \end{pmatrix}
$$

第二步：验证这两个解线性无关 #

要确认它们能构成基本解组，得证明线性无关，最直接的方法是算朗斯基行列式：
$$
W(t) = \det\begin{pmatrix} e^{2t} & -e^{t} \ 0 & e^{t} \end{pmatrix} = e^{2t} \cdot e^{t} - (-e^{t}) \cdot 0 = e^{3t}
$$
因为 $e^{3t}$ 对任何实数 $t$ 都不等于0，所以这两个解肯定是线性无关的，完美构成基本解组。

第三步：写出通解 #

最后，方程组的通解就是这两个基本解的线性组合：
$$
\mathbf{y}(t) = C_1\mathbf{y}_1(t) + C_2\mathbf{y}_2(t) = C_1\begin{pmatrix} e^{2t} \ 0 \end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix} -e^{t} \ e^{t} \end{pmatrix}
$$
这里 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。

额外提一句：为什么这个方法适用？ #

因为当矩阵的所有特征值都是单根（代数重数=几何重数）时，每个特征值对应的特征向量天然线性无关，对应的指数解也必然线性无关，根本不需要用到广义特征向量那套复杂的东西，直接套用就行啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528814