请求解释线性变换T(x,y)=(kx,ky)的特征值与特征向量（新手向）

嘿，刚接触特征值和特征向量的话，先别慌，咱们从最基础的定义出发，一步步把这个问题掰明白～

先明确核心定义 #

首先得记住：对于线性变换( T )，如果存在一个标量( \lambda )（特征值）和一个非零向量( \boldsymbol{v} )（特征向量），满足：

( T(\boldsymbol{v}) = \lambda \boldsymbol{v} )

说白了就是：这个向量经过变换之后，只是被缩放了( \lambda )倍（如果( \lambda )是负数就是反向缩放），方向完全没变（或者彻底反向），没有被旋转或者扭曲。

针对你的缩放变换T来计算 #

你的变换( T(x,y)=(kx,ky) )其实是平面上的均匀缩放变换——把所有向量都放大/缩小( k )倍，方向保持不变（( k<0 )时方向反转）。咱们套定义来算：

假设特征向量是( \boldsymbol{v}=(x,y) )，而且( \boldsymbol{v} \neq (0,0) )（特征向量不能是零向量），那么：

1. 先算变换后的向量：( T(\boldsymbol{v}) = T(x,y) = (kx, ky) )
2. 根据特征值的要求，( T(\boldsymbol{v}) = \lambda \boldsymbol{v} = \lambda(x,y) = (\lambda x, \lambda y) )

把这两个结果相等，得到等式：
( (kx, ky) = (\lambda x, \lambda y) )

拆成两个分量方程就是：

• ( kx = \lambda x )
• ( ky = \lambda y )

整理一下：

• ( (k - \lambda)x = 0 )
• ( (k - \lambda)y = 0 )

现在要找非零解( (x,y) )，也就是x和y不能同时为0。那什么时候这两个方程有非零解呢？
只有当( k - \lambda = 0 )的时候，也就是( \lambda = k )。这时候不管x和y取什么值（只要不同时为0），两个方程都成立——因为左边都是0，右边也是0。

结论：特征值和特征空间 #

• 特征值：唯一的特征值就是( \lambda = k )
• 特征向量：所有非零的二维实向量都是对应( \lambda=k )的特征向量
• 特征空间：特征空间是所有满足( T(\boldsymbol{v}) = k\boldsymbol{v} )的向量集合（包括零向量），这里所有ℝ²里的向量都满足这个等式，所以特征空间就是整个( \mathbb{R}^2 )

举个例子直观感受下：

• 如果k=3，向量(2,5)经过T变成(6,15)=3*(2,5)，完全符合特征向量的定义
• 如果k=-2，向量(1,-3)经过T变成(-2,6)=-2*(1,-3)，只是方向反转了，也满足条件

是不是一下子就理解了？这个变换特别直观，因为它本身就是纯缩放，所以所有向量都“适配”这个变换的特征要求～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者S.S