幂等矩阵行构成基时证明A=Iₙ的入门线性代数问题

嘿，这个问题完全可以用你已经学过的线性代数入门知识来严谨推导，不用涉及秩、核或者行列式这些还没接触的内容，咱们一步步理清楚：

先明确已知条件 #

• 设$A$是域$F$上的$n\times n$矩阵，满足幂等性：$A^2 = A$
• $A$的行向量构成$F^n$的一组基

第一步：排除零矩阵的可能 #

你已经想到了关键点：零矩阵的所有行都是零向量，而零向量组是线性相关的，根本无法构成$F^n$的基，所以$A$肯定不是零矩阵。

第二步：利用基的性质直接推导$A=I_n$ #

既然$A$的行向量是$F^{n$的一组基，那意味着$F}n$中的任意向量都可以唯一表示成$A$的行向量的线性组合。

咱们看单位矩阵$I_n$的每一行：比如第$i$行是$e_i^{T$（第$i$个分量为1，其余为0的行向量），它必然属于$F}n$，所以存在一组系数$c_{i1}, c_{i2}, ..., c_{in} \in F$，使得：
$$e_i^T = c_{i1}r_1 + c_{i2}r_2 + ... + c_{in}r_n$$
其中$r_j$是$A$的第$j$行。

把所有行的这个关系写成矩阵形式，会得到一个$n\times n$矩阵$C$（$C$的第$i$行就是$[c_{i1}, c_{i2}, ..., c_{in}]$），满足：
$$I_n = CA$$

现在用已知条件$A^2 = A$，给这个等式两边左乘$C$：
$$CA^2 = CA$$

左边化简：$CA^2 = C(A\cdot A) = (CA)\cdot A = I_n \cdot A = A$
右边就是$CA = I_n$

直接得到$A = I_n$，完美得证。

补充你的反证法思路（补全严谨性） #

如果你想用反证法，也可以这样完善逻辑：假设$A \neq I_n$，那么矩阵$A - I_n$至少有一行不是零向量。

由$A^2 = A$可得：$A(A - I_n) = A^2 - A = 0$。

因为$A$的行是$F^n$的基，所以$A - I_n$的每一行都能表示为$A$的行的线性组合，即存在矩阵$D$使得$A - I_n = DA$。代入上面的等式：
$$A \cdot DA = 0 \implies (A\cdot D)A = 0$$

但$A$的行是线性无关的基，只有零向量乘以$A$才会得到零矩阵，所以$A\cdot D = 0$。

再代入$A - I_n = DA$，两边右乘$A$：
$$(A - I_n)A = DA^2 \implies A^2 - A = DA$$
左边是$0$，所以$DA = 0$，这意味着$A - I_n = 0$，也就是$A = I_n$，和假设矛盾，因此假设不成立，$A$必须等于$I_n$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user7240099