不同δ函数的乘积问题：δₐδᵦ是否等于0？

首先直接给出结论：当$a\neq b$时，$\delta_a\delta_b$确实等于0。下面结合你给出的思路完整推导验证：

已知$\delta_a$和$\delta_b$是δ函数，$a,b\in\mathbb{R}$且$a < b$，我们通过检验它在测试函数空间$C_0^\infty(\mathbb{R})$上的对偶配对结果来判断（这是分布论中判断两个分布相等的核心方法）。

取$\varepsilon = |b-a| = b - a > 0$，对于任意测试函数$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$，考虑对偶配对$\langle \delta_a\delta_b, \varphi\rangle$：

$$
\begin{align*}
\langle \delta_a\delta_b , \varphi \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \delta_a(x)\delta_b(x)\varphi(x) \ dx \
&= \int_{-\infty}^{a + \frac{\varepsilon}{2}} \delta_a(x)\cdot\delta_b(x)\varphi(x) dx \ + \int_{a + \frac{\varepsilon}{2}}^{b - \frac{\varepsilon}{2}} \delta_a(x)\delta_b(x)\varphi(x) dx \ + \int_{b - \frac{\varepsilon}{2}}^\infty \delta_a(x)\delta_b(x)\varphi(x) dx
\end{align*}
$$

现在逐一分析每一部分：

• 第一个积分区间$(-\infty, \frac{a+b}{2})$：这个区间不包含点$b$，根据δ函数的定义，$\delta_b(x)$在该区间上的作用为0，因此整个积分项为0；
• 第二个积分区间$(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2})$：因为$\varepsilon = b - a$，计算可得$a+\frac{\varepsilon}{2} = b-\frac{\varepsilon}{2} = \frac{a+b}{2}$，上下限完全相等，积分值自然为0；
• 第三个积分区间$(\frac{a+b}{2}, \infty)$：这个区间不包含点$a$，同理$\delta_a(x)$在该区间上的作用为0，因此整个积分项也为0。

综上，三个积分项的和为0，即$\langle \delta_a\delta_b, \varphi\rangle = 0$对所有$\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$成立。根据分布相等的定义（两个分布对所有测试函数的配对结果都相等，则这两个分布相等），我们可以得出结论：$\delta_a\delta_b = 0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者swygerts