判定[0,1]上实值函数环中含无穷多零点的子集是否为子环

你找反例的思路完全正确——只要找到两个属于S的函数，它们的和不属于S，就能证明S不是R的子环。这里有个非常直观的例子：

• 定义函数 $f(x)$：当 $x$ 是 $[0,1]$ 中的有理数时，$f(x)=1$；当 $x$ 是 $[0,1]$ 中的无理数时，$f(x)=0$。

  • $f(x)$ 的零点是所有 $[0,1]$ 内的无理数，显然有无穷多个，所以 $f \in S$。

• 定义函数 $g(x)$：当 $x$ 是 $[0,1]$ 中的有理数时，$g(x)=0$；当 $x$ 是 $[0,1]$ 中的无理数时，$g(x)=1$。

  • $g(x)$ 的零点是所有 $[0,1]$ 内的有理数，同样有无穷多个，所以 $g \in S$。

现在计算它们的和 $h(x) = f(x) + g(x)$：

• 对任意 $x \in [0,1]$，如果 $x$ 是有理数，$h(x)=1+0=1$；如果 $x$ 是无理数，$h(x)=0+1=1$。
• 也就是说 $h(x)$ 是恒等于1的常数函数，它在 $[0,1]$ 上没有零点（零点个数为0，是有限数），因此 $h \notin S$。

根据子环的定义，子环必须对加法封闭（即任意两个子环中的元素相加仍属于子环），但这里 $f,g \in S$ 却有 $f+g \notin S$，所以 $S$ 不是 $R$ 的子环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JB071098