环论证明验证：Zₙ中零因子判定定理的证明问询

我来分享下怎么证明环$(\mathbb{Z}_n, +, \times)$里的零因子恰好是那些和$n$不互素的非零元$m \not\equiv 0 \pmod{n}$，我的思路是通过逆否命题来简化证明：

命题转化 #

原命题是：若$m$是$\mathbb{Z}_n$中的零因子，则$m$与$n$不互素
它的逆否命题是：若$m$与$n$互素，则$m$不是$\mathbb{Z}_n$中的零因子

因为原命题和逆否命题等价，我们只需要证明逆否命题成立，就能推出原命题成立。

关键定义回顾 #

• 互素的定义：$m$与$n$互素当且仅当$\gcd(m,n) = 1$，根据贝祖定理，此时存在整数$a,b$满足$am + bn = 1$。
• 零因子的定义：对于$\mathbb{Z}_n$中的非零元$m$，若存在$\mathbb{Z}_n$中的非零元$q$，使得$m \times q \equiv 0 \pmod{n}$（即$n \mid mq$），则$m$是零因子。

逆否命题的证明 #

假设$\gcd(m,n) = 1$，我们要证明$m$不是零因子：

假设存在$q \not\equiv 0 \pmod{n}$，使得$mq \equiv 0 \pmod{n}$，也就是$n$整除$mq$。
因为$\gcd(m,n)=1$，根据整除的基本性质——若一个数整除两个互素数的乘积，则它必整除另一个数，所以$n \mid q$，这意味着$q \equiv 0 \pmod{n}$，与我们假设的$q$是非零元矛盾。

因此不存在这样的非零$q$，$m$满足零因子的否定条件，即$m$不是零因子。

补证原命题的反向（完整闭环） #

如果$m$是$\mathbb{Z}_n$中的零因子，我们来证$\gcd(m,n) \neq 1$：

设$\gcd(m,n)=d>1$，令$n = dk$，$m = dl$（其中$k < n$，因为$d>1$）。
计算$m \times k = dl \times k = dlk = nk$，显然$nk \equiv 0 \pmod{n}$，而$k \not\equiv 0 \pmod{n}$，这就满足了零因子的定义，所以当$\gcd(m,n)>1$时，$m$是零因子。

综上，环$\mathbb{Z}_n$中的零因子恰好是所有与$n$不互素的非零元。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kam