求证n⁵-n为30的倍数——格里芬·哈丽特教材2.2节问题

咱们来搞定这个经典习题：证明对于任意整数$n$，$n^5 - n$一定是30的倍数。这是格里芬·哈丽特所著教材第2.2节的问题，目前还没找到反例——比如当$n=4$时，把式子分解为$n(n-1)(n+1)(n^2+1)$，代入计算就是$4×3×5×17=30×34$，确实是30的倍数。

核心思路很明确：30是2、3、5的乘积，且这三个数两两互质，所以只要能证明$n^5 - n$同时被2、3、5整除，就能得出它是30的倍数。先把式子因式分解，方便后续分析：
n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n²+1)

接下来分点验证整除性：

• 被2整除：
  $(n-1)、n、(n+1)$是三个连续整数，其中必然存在至少一个偶数——如果$n$是偶数，那$n$本身就是偶数；如果$n$是奇数，那$n-1$和$n+1$都是偶数。所以整个式子肯定能被2整除。

• 被3整除：
  三个连续整数里，必然有一个数是3的倍数（整数模3只有0、1、2三种余数，连续三个数会覆盖所有可能），不管$n$取什么值，$(n-1)、n、(n+1)$中必有一个能被3整除，因此式子能被3整除。

• 被5整除：
  我们可以通过分析$n$模5的余数来验证：
  任意整数$n$模5的余数只能是0、1、2、3、4：

  • 若$n≡0 \pmod{5}$，则$n$是5的倍数；
  • 若$n≡1 \pmod{5}$，则$n-1≡0 \pmod{5}$；
  • 若$n≡4 \pmod{5}$，则$n+1≡0 \pmod{5}$；
  • 若$n≡2 \pmod{5}$，则$n²+1=4+1=5≡0 \pmod{5}$；
  • 若$n≡3 \pmod{5}$，则$n²+1=9+1=10≡0 \pmod{5}$；
    不管哪种情况，式子中总有一个因子是5的倍数，因此整个式子能被5整除。

如果你想从奇偶性角度细分验证（比如$n$为奇数的情况）：
当$n$是奇数时，设$n=2k+1$（$k$为整数），代入式子得到：
(2k)(2k+1)(2k+2)((2k+1)²+1)
这里$2k$和$2k+2$都是偶数，保证了式子能被2整除；同时$2k、2k+1、2k+2$是连续三个数，必有3的倍数；再结合上面的模5分析，也满足被5整除的条件，所以同样成立。

综上，$n^5 - n$同时能被2、3、5整除，而2、3、5两两互质，因此它必然是30的倍数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender