两个独立均匀离散变量和的概率计算：求P(X+Y=k)（2≤k≤2n）

嘿，咱们来一步步搞定这个概率问题吧！已知X和Y是两个独立的随机变量，它们各自在集合{1,2,…,n}上服从均匀分布，现在要找出当2≤k≤2n时，概率P(X+Y=k)的取值。

推导过程 #

首先，根据概率的定义，我们可以把P(X+Y=k)拆解成所有满足x+y=k的(x,y)组合的联合概率之和：
$$
\begin{align}
P(X + Y = k) &= \sum_{(x,y),:,x+y=k} P(x, y) \
&= \sum_{(x,y),:,x+y=k} \frac{1}{n^2} \
&= (k - 1)\frac{1}{n^2} \
&= \frac{k-1}{n^2}
\end{align}
$$
这里要注意，这个推导结果对应的是2≤k≤n+1的情况哦（当k>n+1时，满足条件的(x,y)组合数会发生变化，不过原教材内容未完整给出这部分的推导和结果）。

满足x+y=k的(x,y)组合示例 #

• 当k=2时：仅有一种组合(1,1)
• 当k=3时：两种组合(1,2),(2,1)
• 当k=4时：三种组合(1,3),(3,1),(2,2)
• 当k=5时：四种组合(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)

从这些例子能看出来，当2≤k≤n+1时，满足x+y=k的(x,y)对数为：
$$#(x, y) = k - 1$$

教材参考答案 #

教材给出的答案：当2≤k≤n+1时，$P(X+Y=k)=\frac{k-1}{n^2}$（原内容未完整给出k>n+1的范围及对应结果）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus