"将R视为Q上的向量空间"含义及R在Q上无限维证明困惑咨询

1. 如何理解“Consider ℝ as a vector space over ℚ”？ #

直白点说，这是把实数集ℝ当作有理数域ℚ上的向量空间来分析，核心是满足向量空间的定义规则：

• 向量加法：就是我们日常用的实数加法，比如任意两个实数a、b相加，满足交换律、结合律，存在零元0，每个实数a都有对应的逆元-a。
• 数乘运算：只能用有理数q∈ℚ去乘实数r∈ℝ，运算结果就是普通的实数乘法q·r，同时要符合数乘的四条公理：
  • 单位元性质：1·r = r
  • 数乘结合律：q₁·(q₂·r) = (q₁q₂)·r
  • 分配律1：q·(r₁ + r₂) = q·r₁ + q·r₂
  • 分配律2：(q₁ + q₂)·r = q₁·r + q₂·r

简单总结：这里的“向量”是实数，“标量”限定为有理数，所有运算都是熟悉的实数运算，但数乘只能用有理数来做。

2. 用基数法证明ℝ作为ℚ上的向量空间是无限维的 #

我们可以通过基数矛盾来推导：

• 首先明确：如果一个ℚ上的向量空间是有限维（比如n维），那么它作为集合的基数和ℚⁿ完全相同。而ℚ是可数集，可数集的有限次笛卡尔积依然是可数集——也就是说，任何有限维的ℚ-向量空间都是可数集。
• 但我们知道ℝ是不可数集（基数为连续统2^ℵ₀），它的基数远大于可数集的基数。如果ℝ是有限维的ℚ-向量空间，那它的基数应该和某个ℚⁿ一样是可数的，这显然和ℝ不可数的事实矛盾。

由此可以直接得出结论：ℝ作为ℚ上的向量空间不可能是有限维，只能是无限维。

额外补充：它甚至是不可数维的——因为可数维的ℚ-向量空间（可数个ℚ的直和）基数依然是可数的，还是和ℝ的基数矛盾，所以它的维数是不可数的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John