正实数列几何平均极限结论在l=0时是否成立及求证提示

嘿，这个结论在( l=0 )的时候确实成立！既然你已经掌握了( l>0 )时的证明，那咱们可以从类似的方向入手，下面给你几个实用的求证思路和提示：

思路1：用极限定义直接推导 #

因为( a_n \to 0 )（正实数列），根据极限定义，对任意给定的( \varepsilon > 0 )，总能找到一个正整数( N )，当( n > N )时，( a_n < \frac{\varepsilon}{2} )。

把前( n )项的乘积拆成两部分：
[
(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} = \left( (a_1a_2\cdots a_N) \cdot (a_{N+1}a_{N+2}\cdots a_n) \right)^{1/n}
]
令( C = a_1a_2\cdots a_N )（这是个固定的正实数），那么上式可以写成：
[
C^{1/n} \cdot \left( a_{N+1}a_{N+2}\cdots a_n \right)^{1/n}
]

• 当( n \to \infty )时，( C^{1/n} \to 1 )（这个结论你应该很熟悉）；
• 对于后面的部分，因为每个( a_k < \frac{\varepsilon}{2} )（( k > N )），所以：
  [
  \left( a_{N+1}a_{N+2}\cdots a_n \right)^{1/n} < \left( \left( \frac{\varepsilon}{2} \right)^{n-N} \right)^{1/n} = \left( \frac{\varepsilon}{2} \right)^{1 - \frac{N}{n}}
  ]
  当( n )足够大时，( 1 - \frac{N}{n} )趋近于1，所以这部分小于( \frac{\varepsilon}{2} )。

两者相乘后，当( n )足够大时，整体就会小于( 1 \cdot \varepsilon = \varepsilon )，满足极限为0的定义。

思路2：对数转化为算术平均问题 #

咱们可以沿用( l>0 )时的对数技巧：令( b_n = \ln a_n )，因为( a_n \to 0^+ )，所以( b_n \to -\infty )。现在问题转化为证明：
[
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k \to -\infty
]

要证这个结论，任取一个负数( M )（比如( M = -K )，( K>0 )），因为( b_n \to -\infty )，所以存在( N )，当( n > N )时，( b_n < \frac{M}{2} )。

把前( n )项和拆成两部分：
[
\sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^N b_k + \sum_{k=N+1}^n b_k
]
令( D = \sum_{k=1}^N b_k )（固定常数），那么：
[
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k < \frac{D}{n} + \frac{(n-N)}{n} \cdot \frac{M}{2}
]
当( n )足够大时，( \frac{D}{n} )会小于( \frac{|M|}{4} )（因为( D )是常数），且( \frac{n-N}{n} > \frac{1}{2} )，代入后就能得到：
[
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k < \frac{|M|}{4} + \frac{M}{2}
]
因为( M )是负数，( |M| = -M )，所以上式等于( -\frac{M}{4} + \frac{M}{2} = \frac{M}{4} < M )，这就说明( \frac{1}{n} \sum b_k \to -\infty )，进而( \exp\left( \frac{1}{n} \sum b_k \right) \to 0 )，也就是几何平均趋近于0。

思路3：利用Stolz定理（快捷方法） #

如果你熟悉Stolz定理，那这个问题会更简单。对于( \frac{\sum_{k=1}^n b_k}{n} )，这是( \frac{-\infty}{\infty} )型的极限，满足Stolz定理的适用条件，所以：
[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n b_k}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n b_k - \sum_{k=1}^{n-1} b_k}{n - (n-1)} = \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty
]
同样能推出几何平均的极限为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaqib Iqbal