赋范代数中的乘法是否满足分配律？

嘿，这个问题抓得很准！咱们从Murphy给出的定义根源说起：

首先，他定义的代数本身就是一个向量空间$A$加上一个双线性乘法映射$(a,b)\mapsto ab$，再结合结合律。这里的「双线性」是核心——双线性映射的定义就直接包含了分配律：

• 对第一个变量线性：$(a_1 + a_2)b = a_1b + a_2b$，且$(\lambda a)b = \lambda(ab)$（$\lambda$是标量，$a,a_1,a_2,b\in A$）
• 对第二个变量线性：$a(b_1 + b_2) = ab_1 + ab_2$，且$a(\lambda b) = \lambda(ab)$

而赋范代数的定义是「装备了次可乘范数$|\cdot|$的代数」——也就是说，它首先得满足代数的所有公理（包括双线性乘法带来的分配律），只是额外多了一个$|ab| \leq |a||b|$的范数条件而已。

甚至你提到的那个用来证明乘法连续性的不等式：
$$|ab-a'b'|\leq|a||b-b'|+|a-a'||b'|$$
其实也是依赖分配律推导出来的——把$ab - a'b'$拆成$a(b - b') + (a - a')b'$的这一步，就用到了乘法对加法的分配律~

所以结论很明确：赋范代数里的乘法必然满足左右分配律，这是从它的代数基础定义里就自带的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student G