求线性变换$T:\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}$（$T(A)=\mathrm{trace}(A)$）的$\mathrm{Im}(T)$的基及秩疑问

嘿，我来帮你把这个问题捋清楚～

首先，先确认你第一个结论是完全正确的：$\mathrm{Im}(T)$的一组基就是${1}$。原因很简单：

• 迹变换$T(A)=\mathrm{trace}(A)$的像空间$\mathrm{Im}(T)$，是所有$n$阶实矩阵的迹组成的集合。而迹是矩阵对角线元素的和，结果是一个实数。
• 对于任意实数$t\in\mathbb{R}$，我们总能找到对应的矩阵$A$（比如对角矩阵$\mathrm{diag}(t,0,\dots,0)$），使得$T(A)=t$。这说明$\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}$，而实数域$\mathbb{R}$作为一维实向量空间，它的一组基自然就是${1}$。

接下来解决你困惑的点：为什么$\dim(\mathrm{col}(T))=\mathrm{rank}(T)=1$？
这里的关键是理解线性变换的秩和其矩阵表示的列空间之间的关系：

1. 线性变换的秩$\mathrm{rank}(T)$的定义就是像空间的维度，也就是$\dim(\mathrm{Im}(T))$。既然$\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}$，维度是1，那$\mathrm{rank}(T)=1$是理所当然的。
2. 至于$\mathrm{col}(T)$，它是当我们把线性变换$T$用矩阵形式表示时，这个矩阵的列空间。我们可以给$\mathbb{R}^{n\times n}$选一组标准基${E_{ij}}$（其中$E_{ij}$是仅$(i,j)$位置为1、其余为0的矩阵），那么$T$作用在这组基上的结果是：
   • 当$i=j$时，$T(E_{ij})=1$；
   • 当$i\neq j$时，$T(E_{ij})=0$。
     对应的矩阵表示是一个$1\times n^2$的行向量，其中对应$E_{11},E_{22},\dots,E_{nn}$的位置是1，其余位置是0。这个矩阵的列空间就是该行向量的所有线性组合，也就是整个$\mathbb{R}$，所以它的维度是1，即$\dim(\mathrm{col}(T))=1$。

简单来说，线性变换的秩等于其矩阵表示的秩（也就是列空间的维度），而这里像空间本身就是一维的，所以这几个结论是完全一致的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox