求助：用常数变易法求解二阶常微分方程$y'' - 2y' + y = e^{2x}$

嘿，我看到你在用常数变易法求解这个二阶常微分方程时卡壳了，先帮你理清楚整个流程，顺便纠正一个你刚才犯的小错误～

首先，你对齐次方程的求解大部分是对的，但有个细节要注意：特征方程 $r^2 - 2r + 1 = 0$ 的根是二重根 $r=1$（不是单根哦，判别式 $\Delta=4-4=0$），不过你写出的齐次通解 $y_c = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x}$ 是完全正确的！

这里最关键的问题是：你选了 $y_1 = y_2 = e^{x}$ 作为特解的基底，这可不行～常数变易法要求 $y_1$ 和 $y_2$ 必须是齐次方程的线性无关解，两个完全相同的函数显然是线性相关的，没法用来构造特解。正确的基底应该取 $y_1 = e^x$，$y_2 = x e^x$，这两个函数的朗斯基行列式不为0，是线性无关的。

接下来咱们一步步用正确的基底求特解：

1. 计算朗斯基行列式 $W(y_1, y_2)$ #

朗斯基行列式的公式是：
$$
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix}
$$
代入 $y_1=e^x$，$y_2=xex$，它们的导数分别是 $y_1'=e^x$，$y_2'=ex + xe^x$，计算得：
$$
W = e^x \cdot (e^x + xe^x) - xe^x \cdot e^x = e^{2x} + xe^{2x} - xe^{2x} = e^{2x}
$$

2. 求 $u_1'(x)$ 和 $u_2'(x)$ #

根据常数变易法的核心公式，对于方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$，有：
$$
u_1'(x) = -\frac{y_2 \cdot f(x)}{W}, \quad u_2'(x) = \frac{y_1 \cdot f(x)}{W}
$$
原方程中 $f(x)=e^{2x}$，代入后：

• $u_1'(x) = -\frac{xe^x \cdot e^{2x}}{e{2x}} = -xe^x$
• $u_2'(x) = \frac{e^x \cdot e^{2x}}{e{2x}} = e^x$

3. 积分得到 $u_1(x)$ 和 $u_2(x)$ #

对 $u_1'(x)$ 积分需要用分部积分法：
$$
u_1(x) = \int -xe^x dx = -\left[ xe^x - \int e^x dx \right] = -xe^x + e^x + C_1
$$
对 $u_2'(x)$ 积分就简单多了：
$$
u_2(x) = \int e^x dx = e^x + C_2
$$
因为我们只需要一个特解，所以可以把常数项 $C_1$ 和 $C_2$ 都取0，得到：
$u_1(x) = e^x(1 - x)$，$u_2(x) = e^x$

4. 构造特解 $y_p$ #

把 $u_1, u_2$ 和 $y_1, y_2$ 代入特解形式 $y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2$：
$$
y_p = e^x(1 - x) \cdot e^x + e^x \cdot xe^x = e^{2x}(1 - x) + xe^{2x} = e^{2x}
$$

最终通解 #

把齐次通解和特解加起来，就是原方程的通解：
$$
y = c_1 e^x + c_2 xe^x + e^{2x}
$$

最后可以验证一下：把 $y=e^{2x}$ 代入原方程左边，得到 $4e^{2x} - 4e^{2x} + e^{2x} = e^{2x}$，和右边完全一致，说明这个特解是对的～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user465188