求助：已知随机变量X的期望与方差，求Y=(3X−2)²的期望

没问题，我来一步步帮你拆解这个问题，核心是利用期望的线性性质和方差的定义来推导，其实并不复杂～

步骤1：展开Y的表达式 #

首先把给定的Y的平方形式展开，这样就能拆分出我们可以计算的项：

Y = (3X - 2)² = 9X² - 12X + 4

步骤2：利用期望的线性性质拆分E[Y] #

期望的线性性质允许我们把线性组合的期望拆成期望的线性组合（哪怕变量不独立也适用），所以：

E[Y] = E[9X² - 12X + 4] = 9E[X²] - 12E[X] + E[4]

这里要注意：常数的期望就是它本身，所以E[4] = 4。

步骤3：用方差公式求E[X²] #

我们已知方差var(X) = 5和E[X] = 2，而方差的定义是：

var(X) = E[X²] - (E[X])²

把公式变形，解出E[X²]：

E[X²] = var(X) + (E[X])²

步骤4：代入数值计算E[X²] #

把已知的数值代入上式：

E[X²] = 5 + 2² = 5 + 4 = 9

步骤5：计算最终的E[Y] #

现在把E[X²] = 9和E[X] = 2代入步骤2的表达式：

E[Y] = 9*9 - 12*2 + 4 = 81 - 24 + 4 = 61

这样就得到最终结果啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheLifeOfParallax