两个滤子能否分离？滤子扩张与分离性的技术问询

嘿，这个问题挺值得琢磨的，结论是不一定存在这样的滤子X和Y，咱们拿具体例子和思路拆解一下：

核心结论 #

给定集合上的滤子A和B（包含非真滤子），并不必然存在满足条件的扩张滤子X⊇A、Y⊇B——也就是同时满足$X \cap Y = A \cap B$，且X与Y分离（存在不相交的P∈X、Q∈Y）。

反例：弗雷歇滤子的情况 #

考虑自然数集$\omega$，让A和B都取成弗雷歇滤子：这个滤子里的元素都是$\omega$的余有限集，也就是集合S属于它当且仅当$\omega$去掉S剩下的部分是有限集。这时候$A \cap B = A = B$，就是弗雷歇滤子本身。

现在假设真的存在符合要求的X和Y：因为X包含A，滤子又是向上封闭的（如果一个集合属于滤子，那它的超集也属于滤子），所以X里的每个元素都得是余有限集——毕竟A里的元素都是余有限集，X里的元素得包含其中某个，那它自己的补集肯定也是有限的。同理Y里的元素也都是余有限集。

但问题来了：两个余有限集的交集肯定还是余有限集啊（因为两个有限集的并还是有限集，对应的交集补集就是有限的），而$\omega$上的余有限集不可能是空集——空集的补集是整个自然数集，不是有限集，不可能属于弗雷歇滤子。这就和“X与Y分离（存在不相交的P∈X、Q∈Y）”矛盾了！所以这个例子里，根本找不到这样的X和Y。

哪些情况是存在的？ #

当然也不是所有情况都不行：比如如果A和B本身就分离，那直接取X=A、Y=B就满足条件；再比如如果$A \cap B$是滤子，而且能找到一个集合C，使得C属于A，同时$\omega \setminus C$和B里的所有元素都相交非空，那咱们可以用C来扩张X，用$\omega \setminus C$扩张Y，就能满足要求。但上面的反例说明，这种好事不是每次都有。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者porton