质心与表面中心的对比及两类相关技术问题咨询

刚好最近琢磨过类似的问题，来聊聊我的看法：

首先明确题目里的两个核心定义：

• 表面中心：$$\vec C_s=\frac{\iint_{\mathbb{S}} \vec rdS}{\iint_{\mathbb{S}} dS}$$
• 质心（体积中心）：$$\vec C_v=\frac{\iiint_{\mathbb{V}} \vec rdV}{\iiint_{\mathbb{V}} dV}$$

核心结论是：具有中心对称性的均匀物体，二者必然重合。

具体来说满足这些特征的物体都符合要求：

• 存在一个中心点$O$，对于物体上任意一点$P$，都能找到对应的对径点$P'$，使得$O$是线段$PP'$的中点（这就是中心对称的定义）。
• 典型例子包括：球体、立方体、正十二面体、均匀厚度的球壳、两端封闭的均匀圆柱等。

反过来，不具备中心对称性的均匀物体，二者基本不会重合。比如圆锥：质心在距离底面1/4高度的轴线上，但表面中心（侧面+底面的面积加权平均）的位置和质心明显不同；再比如半球体，表面中心和质心也不在同一点。

这个得结合模型的实际结构来判断：

• 如果是壁厚均匀且远小于整体尺寸的薄壁结构：近似效果非常好。这类模型的体积可以近似为「表面积 × 壁厚」，质心位置几乎和表面中心重合，这时候用$\vec C_s$代替$\vec C_v$既快速又准确。
• 如果是实心厚壁/实心体：近似效果可能很差。比如实心圆锥、偏心挖孔的实心立方体，体积的质量分布和表面的面积分布差异极大，$\vec C_s$和$\vec C_v$的位置会有明显偏差，这时候绝对不能用$\vec C_s$代替。

另外补充一点：虽然计算$\vec C_v$看起来复杂，但现在很多开源工具（比如Open3D、MeshLab）或者CAD软件都内置了基于三角形网格计算体积质心的函数，原理是利用散度定理把体积积分转化为表面积分，实现起来并不难。如果对精度有要求，还是直接计算$\vec C_v$更靠谱；只有在追求计算速度、且模型是薄壁结构的场景下，$\vec C_s$才是合适的近似。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ar2015