x→0+时f(x)^g(x)极限为非1值的实函数存在性问询

嘿，你这个疑问挺有代表性的，其实完全存在满足你列出三个条件的实函数，咱们慢慢说清楚：

先明确要求的三个条件 #

• 定义域均为 $x \ge 0$
• $\lim_{x \to 0^{+}} f(x)=0$ 且 $\lim_{x \to 0^{+}} g(x)=0$
• $\lim_{x \to 0^{+}} f(x)^{g(x)}=a \ne 1$（$a$为实数）

举两个具体的例子 #

例1：极限为$e^{-1}$的情况 #

定义函数：

• $f(x) = \begin{cases} e^{-1/x}, & x > 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}$
• $g(x) = x$（定义域$x \ge 0$）

咱们验证一下：

1. 定义域都满足$x \ge 0$；
2. 当$x \to 0^{+$时，$f(x)=e}{-1/x}$趋向0，$g(x)=x$也趋向0；
3. 计算极限：$f(x)^{g(x)} = (e^{-1/x})x = e^{-1}$，所以$\lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)} = e^{-1} \approx 0.3679$，明显不等于1。

而且这个例子里，$f(x)$在$x>0$时恒为正，所以$f(x)^{g(x)}$在0的右邻域$(0, \delta)$（$\delta>0$）内都是实值，完全有定义。

例2：极限为任意正数$a$的情况 #

如果想让极限是任意不等于1的正数$a$，可以这么定义：

• $f(x) = \begin{cases} x, & x > 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}$
• $g(x) = \begin{cases} \frac{\ln a}{\ln x}, & x \in (0,1) \ 0, & x = 0 \end{cases}$

验证一下：

1. 定义域满足$x \ge 0$；
2. $x \to 0^+$时，$f(x)=x$趋向0，$g(x)=\frac{\ln a}{\ln x}$（因为$\ln x \to -\infty$）也趋向0；
3. 计算极限：$f(x)^{g(x)} = x^{\frac{\ln a}{\ln x}} = e^{\frac{\ln a}{\ln x} \cdot \ln x} = e^{\ln a} = a$，只要$a \ne 1$就符合要求。

同样，$f(x)$在$x>0$时恒正，保证了$f(x)^{g(x)}$在0的右邻域内有定义且为实值。

解释你提到的定义顾虑 #

你担心的像$f(x)=x\sin(1/x)$这类函数确实不行，因为它在0的右邻域内会正负交替，导致$f(x)^{g(x)}$可能无实值。但我们只要选择在0的某个右邻域内恒正的$f(x)$，就能避开这个问题——上面的两个例子都是这么做的，完全满足“在0的某邻域内有定义且为实值”的要求。

关于教材说$0^0 \ne 1$的意思 #

其实$0^0$是不定式，不是一个确定的常数。它的“极限结果”取决于$f(x)$和$g(x)$趋向0的具体方式：有的情况下极限是1（比如$\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$），有的情况下是其他正数（比如咱们上面的例子），甚至有的情况下没有极限。教材举这类例子，就是为了说明不能把$0^0$默认定义为1，因为不同的趋近方式会得到不同的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528858