技术问询：求证由连续函数与有界函数构造的h(x)在x₀处连续

题目已知：设$f,g : D \rightarrow \mathbb{R}$为定义在$D \subset \mathbb{R}$上的函数，其中$f$连续，$g$有界。取$x_0 \in D$，定义$h(x) = (f(x) - f(x_0)) \cdot g(x)$。求证$h$在$x_0$处连续。

你提到的序列极限法思路方向完全正确，只是目前只写了开头部分，咱们可以把这个思路补全，同时验证逻辑的严谨性：

• 首先回忆序列式连续性定义：若对任意满足$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$的序列$(x_n) \subset D$，都有$\lim_{n \rightarrow \infty} h(x_n) = h(x_0)$，则$h$在$x_0$处连续。
• 已知$f$在$x_0$处连续，结合$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0$，根据连续函数的序列极限性质，确实可以推出：
  $$\lim_{n \rightarrow \infty} (f(x_n) - f(x_0)) = f(\lim_{n \rightarrow \infty}x_n) - f(x_0) = f(x_0) - f(x_0) = 0$$
  这一步你的思路是没问题的。
• 接下来要用到$g$有界的关键条件：因为$g$在$D$上有界，所以存在常数$M > 0$，使得对所有$x \in D$，都有$|g(x)| \leq M$。
• 计算$h(x_0)$可得$h(x_0) = (f(x_0)-f(x_0))\cdot g(x_0) = 0$，因此$|h(x_n) - h(x_0)|$可以展开为：
  $$|h(x_n) - h(x_0)| = |(f(x_n)-f(x_0))\cdot g(x_n)| = |f(x_n)-f(x_0)| \cdot |g(x_n)| \leq |f(x_n)-f(x_0)| \cdot M$$
• 由于$\lim_{n \rightarrow \infty} |f(x_n)-f(x_0)| = 0$，根据极限的夹逼准则，$\lim_{n \rightarrow \infty} |h(x_n) - h(x_0)| = 0$，即$\lim_{n \rightarrow \infty} h(x_n) = h(x_0)$。

这样就完整地通过序列极限法证明了$h$在$x_0$处的连续性，你的初始思路是正确的，只需要补上结合$g$有界的推导步骤就没问题啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ClassicEndingMusic