关于三个连续整数乘积可被6整除的证明步骤疑问

我最近在琢磨「三个连续整数的乘积能被6整除」的证明，对其中一段逻辑有点绕不过来，想请教下大家。

先把常见的证明步骤列出来：

要证明三个连续整数的乘积可被6整除，首先设这三个数的乘积为 ( P = n(n+1)(n+2) )。首先能确定 ( P ) 同时被2和3整除——三个连续数里必有偶数（被2整除），也必有能被3整除的数。所以存在整数 ( k ) 和 ( m )，使得 ( 2k = P ) 且 ( 3m = P )，也就是 ( 2k = 3m )。
因为2和3是互质的（即 ( (2,3)=1 )），而2能整除 ( 3m )，根据互质的性质，2必然能整除 ( m )，于是可以设 ( m = 2s )（( s ) 是整数），代入后得到 ( P = 3(2s) = 6s )，由此证明 ( P ) 能被6整除。

我的疑问是：当我们得到 ( 2k = 3m ) 这个等式时，既然2和3互质，那除了从「2整除3m」推出「2整除m」之外，是不是也能从「3整除2k」推出「3整除k」？如果两种推导都成立，为什么原证明只走了其中一条路就得出结论了？我有点搞不懂为什么这样单一方向的推导就足够了，会不会有逻辑上的漏洞或者我没get到的点？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender