证明$inom{a}{b}=|P_b(A)|$为良定义表达式的技术咨询

我来帮你理清这个证明的核心逻辑——其实我们要解决两个关键点：一是同基数的集合，它们的b元子集数量肯定相等；二是**$\binom{a}{b}$的标准定义（基于排列/单射数目）和这个子集数量等价，且不会因为选不同的同基数集合而改变**。

1. 先证：同基数的集合，b元子集个数相同 #

假设$|A|=|A'|=a$，那必然存在一个双射$f: A \to A'$（毕竟两个集合基数相等，就有一一对应关系）。我们可以构造一个从$P_b(A)$到$P_b(A')$的映射：

把A里的任意一个b元子集$S$，映射到$f(S) = {f(x) \mid x \in S}$——说白了就是把S里的每个元素通过双射$f$搬到$A'$里，得到的新集合肯定也是$A'$的b元子集。

接下来验证这个映射是双射：

• 单射性：如果$f(S_1)=f(S_2)$，那对于$f(S_1)$里的任意元素$y$，都能找到$S_1$里的$x_1$和$S_2$里的$x_2$使得$f(x_1)=y=f(x_2)$。因为$f$是单射，所以$x_1=x_2$，这就说明$S_1$和$S_2$的元素完全一致，即$S_1=S_2$。
• 满射性：随便拿$A'$里的一个b元子集$T$，因为$f$是满射，所以$T$里每个元素$y$都能找到A里的原像$f^{-1}(y)$，把这些原像凑成集合$S = {f^{-1}(y) \mid y \in T}$，那$S$肯定是A的b元子集，而且$f(S)=T$。

既然这个映射是双射，那$|P_b(A)|=|P_b(A')|$就成立了——这说明b元子集的个数只跟集合的基数$a$有关，跟具体是哪个集合没关系。

2. 再证：$\binom{a}{b}$的定义和子集个数等价，且良定义 #

通常$\binom{a}{b}$的标准定义是：从a元集合中选取b个元素的排列数除以$b!$（排列数即$a \times (a-1) \times ... \times (a-b+1)$）。我们要说明这个值等于$|P_b(A)|$，而且不管选哪个同基数的A、B，结果都一样。

2.1 排列数和子集个数的对应关系 #

我们可以把“从A中选b个元素并排列”的过程拆成两步：

1. 先选A的一个b元子集$S$，这一步有$|P_b(A)|$种选择；
2. 再把$S$里的元素全排列，这一步有$b!$种方式（因为b个元素的全排列数就是$b!$）。

显然，排列总数就是这两步的乘积：$|P_b(A)| \times b!$，反过来推导就能得到$|P_b(A)| = \frac{\text{排列数}}{b!} = \binom{a}{b}$，这就直接建立了两者的等价关系。

2.2 这个值不依赖具体集合的选择 #

如果我们换另一个a元集合$A'$和b元集合$B'$：

• 因为$|A|=|A'|$、$|B|=|B'|$，所以存在双射$f:A→A'$和$g:B→B'$。我们可以把每个从A到B的单射$h$，映射到$g \circ h \circ f^{{-1}$（即先通过$f}{-1}$把$A'$的元素转到A，再用$h$映射到B，最后用$g$转到$B'$），这是从$A'$到$B'$的单射，而且这个映射本身是双射。
• 这意味着从A到B的单射数目等于从$A'$到$B'$的单射数目，因此单射数目除以$b!$的结果也完全一致，也就是$\binom{a}{b}$的值不会因为换了同基数的集合而改变。

总结 #

不管你选哪个基数为$a$的集合$A$，它的b元子集个数都是固定的；同时$\binom{a}{b}$的定义（不管是直接定义为b元子集个数，还是用排列数/单射数除以$b!$）都等于这个固定值，而且不会因为换了同基数的A或B而改变。所以$\binom{a}{b}=|P_b(A)|$确实是良定义的表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noy