同一函数绕x轴与y轴旋转所得旋转体体积是否恒相等？

兄弟，你举的y=2x在[0,1]上的例子只是个巧合哦，并不是所有函数绕x轴和y轴旋转得到的体积都相等。

你选的这个线性函数刚好满足两种旋转方式下的积分结果一致，但这只是特殊情况，咱们换个例子就能看出差异：

比如取区间[0,1]上的函数y=x²：

• 绕x轴旋转（圆盘法）：
  体积公式为 $V_x = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 dx$，代入计算得：
  $V_x = \pi \int_{0}^{1} (x²⁾2 dx = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}$
• 绕y轴旋转（用壳法计算）：
  壳法公式为 $V_y = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot f(x) dx$，代入得：
  $V_y = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot x^2 dx = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$

很明显 $\frac{\pi}{5} \neq \frac{\pi}{2}$，这就说明两种旋转体积并不总是相等。

那为什么你的例子会相等呢？因为y=2x刚好满足两种积分的等式：
绕x轴的体积 $V_x = \pi \int_{0}^{1} (2x)^2 dx = \frac{4\pi}{3}$
绕y轴用壳法计算的话 $V_y = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot 2x dx = \frac{4\pi}{3}$，刚好数值一致。但这种匹配只有少数函数和区间组合能满足，并不是普遍规律。

简单来说，只有当函数和区间满足特定的积分等式时，两种旋转体积才会相等，绝大多数情况下它们是不同的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者10110